- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •П ример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Пример выполнения заданий
Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной в табл. 6.1.
Таблица 6.1
|
1.1 |
1.5 |
2.0 |
2.6 |
|
0.0953 |
0.4055 |
0.6931 |
0.9555 |
Используя полученный интерполяционный многочлен, вычислить приближённо значение в точке .
Для построения интерполяционного многочлена используем формулу (6.3) при . В результате получаем многочлен третьей степени , который в узлах интерполяции совпадает с табличными значениями исходной функции:
.
Проверяем условия :
1) .
Подставляем в полученный многочлен:
;
2) :
;
3) :
;
4) :
.
Вычисляем , .
Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
Построение дробно-рациональных функций Лагранжа с использованием программного блока:
Полином Лагранжа можно записать так:
Проверка основного условия интерполяции:
График полученных результатов может быть таким:
Полином Лагранжа можно записать и по-другому:
,
где vx, vy – векторы, заданные табличные значения.
Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
function yy=lagrange(x,y,xx)
% число узлов интерполяции
N=length(x);
% число узлов, в которых высчитывается значение интерполяционного полинома
N_res=length(xx);
% создание нулевого массива значений интерполяционного полинома
yy=zeros(size(xx));
for k=1:N
% вычисление функции Лагранжа Li(X)
Li=ones(size(xx));
for j=[1:k-1, k+1:N]
for i=[1:N_res]
Li(i)=Li(i).*(xx(i)-x(j))/(x(k)-x(j));
end
end
% накопление суммы
yy = yy + y(k)*Li;
yy
end
Пример использования узлов Чебышева.
Заданная функция f(x) табулируется на интервале [-1,1] двумя способами: с шагом 0.2 и в узлах Чебышева. На двух полученных сетках строятся полиномы Лагранжа. Результаты визуализируются с помощью графиков. На графике, приведенном ниже, видно значительное отклонение полинома Лагранжа, построенного на сетке с шагом 0.2, от исходной функции и более приемлемое приближение функции для полинома, построенного на узлах Чебышева:
исходная
функция:
Узлы Чебышева:
Пример вычисления погрешности интерполирования.
Анализ погрешности замены исходной функции интерполяционным многочленом для таблиц с постоянным шагом:
Варианты лабораторных работ
Номер варианта |
Исходные данные |
|||||
1 |
x f(x) |
1,4 0,3365 |
1,8 0.5878 |
2,3 0.8329 |
2,9 1.0647 |
|
2 |
x f(x) |
2,0 0,6931 |
2,5 0.9163 |
2,8 1.029б |
3,3 1,1939 |
|
3 |
x f(x) |
4,0 1,3863 |
4,5 1,5041 |
4,9 1.5892 |
5,4 1.6864 |
|
4 |
x f(x) |
1,2 0,1823 |
1,6 0,4700 |
2,1 0.7419 |
2,6 1,6864 |
|
5 |
x f(x) |
2,2 0,7885 |
2,7 0,9933 |
3,1 1.1314 |
3,6 1,2809 |
Варианты лабораторных работ (продолжение)
Номер варианта |
Исходные данные |
||||||||
6 |
x f(x) |
3,2 1,1632 |
3,6 1.2809 |
4,1 1,4110 |
4,6 1.5261 |
||||
7 |
x f(x) |
3,4 1,2238 |
3,9 1,3610 |
4.3 1,4586 |
4,9 1.5861 |
||||
8 |
x f(x) |
1,6 0,4700 |
2,1 0,7419 |
2,7 0,9933 |
8,2 1,1632 |
||||
9 |
x f(x) |
2,8 1,0296 |
3,1 1.1314 |
3,7 1,3083 |
4,2 1,4351 |
||||
10 |
x f(x) |
3,1 1,1314 |
3,6 1,2809 |
4,0 1,З863 |
4,6 1,5261 |
||||
11 |
x f(x) |
1,9 0,6419 |
2,5 0,9163 |
2,9 1,0647 |
3.4 1.2238 |
||||
12 |
x f(x) |
1,7 0,5306 |
2,2 0,7885 |
2,8 1.0296 |
3,2 1.1632 |
||||
13 |
x f(x) |
3,6 1.2809 |
4,2 1.4351 |
4,5 1,5041 |
5.2 1.6094 |
||||
14 |
x f(x) |
2,5 0,9163 |
2,9 1,0647 |
3,6 1.2809 |
4,1 1.4110 |
||||
15 |
x f(x) |
3,3 1,1939 |
3,9 1,3610 |
4,4 1,4816 |
5,0 1,6094 |
||||
16 |
x f(x) |
1,1 0,0953 |
1,7 0,5306 |
2,4 0.6755 |
2,8 1,0296 |
||||
17 |
x f(x) |
2,1 0.7419 |
2.5 0.9163 |
3,0 1,0986 |
3,5 1,2528 |
||||
18 |
x f(x) |
3,2 1,1632 |
3,7 1.3083 |
4,3 1,4586 |
4,9 1,5892 |
||||
19 |
x f(x) |
2,7 0.9933 |
3,3 1.1939 |
3,8 1.3350 |
4,6 1,5261 |
||||
20 |
x f(x) |
1,0 0,0000 |
1,5 0.4055 |
2,1 0,7419 |
2,7 0.9933 |
||||
21 |
x f(x) |
1,4 0,3365 |
1.9 0,6419 |
2,6 0,9555 |
3,0 1,0986 |
||||
22 |
x f(x) |
3,1 1.1314 |
3.7 1,3083 |
4,2 1.4351 |
4.8 1.5686 |
||||
23 |
x f(x) |
2,6 0.9555 |
3,2 1.1632 |
4.0 1.3863 |
4,5 1.5041 |
||||
24 |
x f(x) |
1,6 0.4700 |
2,2 0,7885 |
2,7 .9933 |
8,4 1,2238 |
||||
25 |
x f(x) |
2,1 0,7419 |
2,7 0,9933 |
3,3 1.1939 |
3,8 1.3350 |
Варианты лабораторных работ (окончание)
Номер варианта |
Исходные данные |
|||||
26 |
x f(x) |
2,6 0,9555 |
3.0 1,0986 |
30 1,3610 |
4,5 1,5041 |
|
27 |
x f(x) |
4,5 1,5041 |
4,9 1.5892 |
5,5 1,7047 |
6,0 1.7916 |
|
28 |
x f(x) |
3,5 1,2528 |
3,8 1,3350 |
4,5 1,5041 |
5,1 1.6292 |
|
29 |
x f(x) |
2,6 1,0296 |
3,3 1.1939 |
3,9 1,3610 |
4,6 1,5261 |
|
30 |
x f(x) |
4,1 1,4110 |
4,6 1,5261 |
5,2 1,6487 |
6,0 1,7918 |