- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •П ример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Требования к выполнению лабораторних работ
При выполнении лабораторных работ студенту необходимо изучить теоретические сведения, записать основные положения и формулы, если требуется, привести геометрическую интерпретацию численного метода. Затем студент должен выполнить ручной счет согласно требованиям и решить предлагаемую задачу с заданной точностью алгоритмически, используя математические пакеты MATLAB и MATHCAD. Для проверки правильности полученных результатов нужно решить поставленную задачу с помощью соответствующих встроенных функций пакетов MATLAB и MATHCAD.
Выполнение лабораторной работы заканчивается выводами, в которых помимо прочего должны быть отмечены преимущества и недостатки изученного численного метода.
Теоретические сведения и выводы должны быть написаны от руки.
Лабораторные работы в пособии разбиты по темам. Теоретическое обоснование методов приведено лишь в той мере, в которой оно необходимо для лучшего усвоения и практического применения. Каждая лабораторная работа содержит примеры выполнения, но не полностью, а лишь те пункты, которые обычно вызывают наибольшие затруднения. Студент должен самостоятельно разобраться с приведенными примерами и программами, дополнить их и, возможно, попытаться улучшить. Это позволит получить более глубокое представление об идеях, лежащих в основе численных методов. Каждая тема заканчивается разделом, в котором рассмотрены возможности инструментальных пакетов MATLAB и MATHCAD для решения соответствующих задач численного анализа.
ТЕМА 1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Лабораторная работа № 1
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (ДИХОТОМИИ)
Цель работы: используя метод половинного деления, вычислить с точностью до все действительные корни полинома .
Постановка задачи
Отделить корни для заданного алгебраического уравнения . Для решения этой задачи можно использовать аналитический, графический или табличный метод.
Уточнить один из корней методом дихотомии (ручной счет).
Решить задачу уточнения корней двумя способами в пакете МathCAD, используя оператор if и программный блок.
Решить задачу отделения и уточнения корней методом половинного деления в среде MATLAB.
Сравнить все полученные результаты. Проверить правильность результатов с помощью встроенных функций пакетов. Сделать выводы.
Содержание отчета
Постановка задачи.
Теоретические сведения.
Три-четыре итерации метода дихотомии (ручной счет).
Результаты расчета на ЭВМ.
Выводы.
Теоретические сведения
Постановка задачи. Решение уравнений является одной из задач, наиболее часто встречающихся в практике инженера. Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде
. (1.1)
Решением уравнения (1.1) называется такое значение (корень уравнения), при котором . Формулы для нахождения точного значения корней известны только для узкого класса уравнений. На практике часто встречаются уравнения, которые невозможно решить с помощью элементарных приемов. Кроме того, в инженерных расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы приближенно. Поэтому важное значение приобретают методы, позволяющие сколь угодно точно находить корни уравнения (1.1).
Задача решения уравнения с заданной точностью обычно содержит два этапа:
а) отделение корней – выделение отрезков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1.1);
б) уточнение приближенных корней, т.е. вычисление их с требуемой точностью.
Для каждого из этапов решения задачи разработаны свои численные методы.
Отделение действительных корней. Рассмотрим уравнение (1.1). Для отделения корней используем теорему Больцано–Коши: если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. , то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения . Этот корень будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала . На практике часто используют табличный метод отделения корней и графический.
1.Табличный метод (метод перебора).
Находим знаки функции в ряде точек из области определения функции , , , … . Если , то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке имеется по крайней мере один корень уравнения . Теперь нужно тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным. Если на отрезке не меняет знак, корень – единственный (в силу монотонности ).
2. Графический метод.
Строим график функции и по чертежу находим интервалы, содержащие абциссы точек пересечения графика функции с осью , т.е. нули функции . Если уравнение не имеет близких по значению корней, то этим способом корни легко отделяются. Иногда уравнение удобно представить в виде , где функции – более простые, и, построив графики функций и , определить интервалы, содержащие точки их пересечения.
Рассмотрим этап отделения корней в случае алгебраического уравнения n-степени ( ):
, (1.2)
где коэффициенты – действительные числа, причем .
Основная теорема алгебры: алгебраическое уравнение n-степени (а следовательно, и полином P(x)) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
Теорема 1. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.2) действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если ( – действительные) есть корень уравнения (1.2) кратности s, то число также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.
Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень.
Грубая оценка модулей корней уравнения (1.2) получается на основании теоремы 2.
Теорема 2. Пусть , где – коэффициенты уравнения (1.2). Тогда модули всех корней уравнения (1.2) удовлетворяют неравенству
,
т.е. корни этого уравнения на комплексной плоскости расположены внутри круга.
Уточнение корня методом половинного деления. Пусть найден отрезок , на котором находится единственный корень уравнения . Обозначим его . Для нахождения корня уравнения делим отрезок пополам. Если , то и задача решена. В случае выбираем ту половину отрезка , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам, повторяем те же действия и т.д. В результате на каком-то этапе получаем точный корень уравнения или последовательность вложенных друг в друга отрезков , ,…, ,… . Доказано, что . Для вычисления корня уравнения с точностью до отрезок делим до тех пор, пока выполнится условие . За приближённое значение корня выбираем среднее значение на отрезке :
.
Дихотомия проста и надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций , в том числе и недифференцируемых. Метод половинного деления устойчив к погрешностям округления, но сходится он медленно. Количество итераций, необходимое для достижения заданной точности , можно оценить заранее по формуле
.