4.4. Модели систем типа Мс

Рассмотрим несколько видов классификационных признаков и соответствующие классы моделей, не претендуя на попытку обоснования их выбора. Заметим только, что сочетания различных классификационных признаков могут образовывать достаточно большое разнообразие практически выделяемых классов моделей.

Аппроксиматоры, называемые также в литературе «черными ящиками» (black box), «формальными моделями», являются разновидностью математических моделей, описывают функциональные связи между входами и выходами моделируемой системы без учета (при отсутствии) каких-либо знаний о топологии системы. Коэффициенты таких моделей могут не иметь какого-либо физического смысла, не соотносятся, например, с технологическими параметрами процессов. В этом заключается недостаток таких моделей. Однако, эти модели эффективны в случае невозможности или трудности построения строгих математических описаний поведения систем.

Распространенными примерами таких моделей являются нейронные сети (НС).

Механистические модели. Если знания о функционировании модели формализованы, то для описания таких моделей могут быть использованы механистические модели (ММ), к числу которых относят:

- алгебраические модели (АМ), представляющие собой системы алгебраических и трансцендентных уравнений,

- дифференциальные уравнения (ДУ) и системы ДУ,

- передаточные функции (ПФ),

- логические модели (ЛМ) и др.

Такие модели обычно получают путем анализа физических и химических основ моделируемых процессов. Результатом анализа является прямая или обратная модель процесса. Прямая модель отражает влияние входных координат процесса на выходные и может быть представлена в виде функции

Y = F(X),

где Х и Y - множества входных (в том числе управляющих) и выходных координат соответственно.

В ряде случаев необходимым является получение обратной модели вида

X = Q(Y_н),

где Y_н - множество наблюдаемых или измеряемых значений выходных координат процесса. В большинстве случаев построение обратных моделей является некорректной задачей, т.е. имеющей более одного решения или вообще его не имеющей.

Статистические модели являются технологией построения моделей путем описания свойств процесса через статистические переменные и соответствующие статистические оценки этих переменных. По своей сути эти модели содержат элемент неопределенности.

Модели, согласно этой технологии, строятся с использованием методов статистического анализа, теории игр, теории информации и т.п.

Разновидностями данных моделей являются вероятностные и корреляционные модели. Вероятностные модели используют плотности вероятности переменных процесса. При этом наиболее часто используются нормальный и экспоненциальный законы распределения. Использование таких моделей ограничено тем, что при числе переменных более двух требуется большое число экспериментов, возникают трудности, связанные с коррелируемостью параметров.

Динамические модели и характеристики описывают поведение систем в динамике, т.е. во времени.

Наиболее часто динамические модели представляются линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями, разностными уравнениями в частных производных, операторными уравнениями, передаточными функциями и др.

Линейными называются элементы, для которых справедлив принцип суперпозиции:

(х₁ + х₂) = (х₁) + (х₂),

где  - некоторый оператор.

Таким свойством обладают операторы суммирования, интегрирования, дифференцирования.

При исследовании динамических свойств систем может быть использованы прикладные математические методы операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

, (4.14)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (4.15)

то ДУ (4.14) при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями для x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sⁿ, знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

,

где f(t) - оригинал, F(j) - изображение при s = j, j - мнимая единица,  - частота.

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Например, операторное уравнение

3s²Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s² + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4),

.

Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточная функция - это отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях:

.

Передаточная функция для линейных элементов часто является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

,

где B(s) = b₀ + b₁s + b₂ s² + … + b_m s^m - полином числителя,

А(s) = a₀ + a₁s + a₂ s² + … + a_n sⁿ - полином знаменателя.

Если вместо s подставить выражение s = j^., получаем преобразование Фурье, которое характеризует связь между частотными характеристиками входных и выходных сигналов элемента. Частотные характеристики дают возможность анализировать описание системы с учетом динамики.

В последнее время более широко используется описание динамики систем методом пространства состояний.

Для описания динамики элементов систем используется в данном методе матричная запись ДУ:

, (4.16)

где А – матрица коэффициентов, U – матрица входов или управлений, Х – матрица пространства состояний:

Х = (х₁, х₂, … х_n)^Т.

В данном случае х_i называется переменной состояния или фазовой переменной («Т» – символ транспонирования).

Предположим, что динамические свойства объекта описываются ДУ вида

, (4.17)

где a_i и b_i – коэффициенты, у – выходной сигнал, u – входной сигнал объекта.

Если ввести переменные состояния:

и т.д.,

то левая часть ДУ (4.17) примет вид (после деления на (-а_n ):

.

Можно записать уравнение в матричном виде:

.

Решением полученного матричного уравнения является матрица Х.

Для определения выходных параметров y_i уравнение (4.16) дополняется уравнением

Y = C^.X + D^.U,

где С (pn) – матрица связей, D (pq) – матрица обхода, p – число выходных параметров у_i, q – число входных параметров u_i.

Решение матричных уравнений для некоторых случаев может быть произведено аналитически, в частности, для однородного ДУ вида

. (4.18)

Прямое преобразование Лапласа для данного уравнения дает

s^.X(s) – X₀ = A^.X(s),

где Х₀ – матрица начальных условий, т.е. начальные условия по переменной у, по скорости ее изменения, ускорению и т.д. Отсюда получено

Х(s) = X₀^.[s^.E – A]^-1 = Ф(s)^.X_0,

где Е – единичная матрица, Ф(s) – изображение фундаментальной матрицы

Ф(s) = [s^.E – A]^-1.

Оригиналом фундаментальной матрицы является матричный экспоненциал

.

Тогда решение ДУ (4.18) можно получить в виде ряда с шагом t по времени:

Х₀ – начальные условия,

Х(t) = Ф(t)^.Х₀,

Х(2^. t) = Ф(2^.t)^.Х(t) и т.д.

Качественные модели

Существует множество примеров, когда природа процессов принятия решений или функционирования объекта не может быть описана в виде математических соотношений в виду наличия нечетких определений и лингвистических операций или ограничений на технологические параметры и т.д.

Решением этой проблемы является использование качественных моделей, которые наиболее часто представляются в терминах нечетких множеств.