2.2. Операции над множествами

1) Объединение (сумма, дизъюнкция)

Х = А В := {x|xAvxB}

«v» = «или» (см. рис. 2.2, а)

В

В

Рис. 2.2

2) Пересечение (произведение, конъюнкция)

Х = А В := {x|xA&xB}

«&» = «и» (см. рис. 2.2, б).

3) Разность (см. рис. 2.2, в)

Х = А \ В := {x|xA&xB}.

4) Симметрическая разность (см. рис. 2.2, г)

Х = (А \ В) (В \ А) = А Δ В := {x|xA&xB,xВ &xА }.

5) Дополнение

.

Элементы всех множеств можно считать элементами некоторого универсального множества U–универсума, который играет роль единицы. Тогда разностьU\Aназывается дополнением множества А и часто обозначается (-А) или (¬А).

2.3. Свойства операций над множествами

1) Идемпотентность: А А = А, АА = А.

2) Коммутативность: А В = ВА, АВ = ВА.

3) Ассоциативность: А (ВС) = (АВ)С,

А (ВС) = (АВ)С.

4) Дистрибутивность: А (ВС) = (АВ)(АС),

А (ВС) = (АВ)(АС).

5) Поглощение: (А В)А = А, (АВ)А = А.

6) Свойства нуля: А =, А= А.

7) Свойства единицы: А U=A, АU=U.

8) Инволютивность: .

9) Законы де Моргана: ,.

10) .

11) .

12) Рефлексивность: А А.

13) Транзитивность: если А В и ВС, то АС.

Алгебраическая операция определена на А, если можно указать закон, по которому любой паре (a,b) из АА ставится в соответствие третий элемент, принадлежащий этому же множеству.

c=a+b– сложение, с =ab– умножение,c=ab– в общем случае.

Основные свойства операций: коммутативность и ассоциативность.

Операция – это всегда отношение, но не наоборот.

Множество К называется кольцом, если в нем определены операции сложения и умножения, обе ассоциативны и дистрибутивны, причем сложение коммутативно и обладает обратной операцией.

Множество К называется линейным или векторным пространством, если для элементов (векторов) из К определены операции сложения и умножения на число Р и выполняются аксиомы:

1) Каждой паре векторов (х, у) отвечает вектор (х + у) и называется суммой, причем х + у = у + х (коммутативность) и х + (у + z) = (х + у) +z(ассоциативность).

Существует единственный нулевой вектор О такой, что х + О = х, х.

Существует вектор (-х) такой, что х + (-х) = О.

2) Каждой паре (, х), где- число, а х – вектор, отвечает векторх, причем:

(х) = () х, 1х = х.

3) (х + у) =х +у, (+)х =х +х.

2.4. Алгебры

Множества и функции на них – это два типа объектов, на которых в конечном счете строится любая математическая теория.

Если аргументы функции fпробегают множество М и она принимает значения из того же множества, тоf– этоалгебраическая операцияна М.

Итак, алгебра – это множество М вместе с набором операций на нем. Обозначается алгебра как двойка (М, ), где:={₁,₂, …,_n} – набор (множество) операций,сигнатураалгебры, а М –носительалгебры.

Группойназывается множество, если:

1) выполняется условие наличия одной ассоциативной операции;

2) в группе есть элемент «е», удовлетворяющий условию a^.e=e^.a=a, он называется «единицей»;

3) для каждого элемента асуществует единственный элемент (а^-1) такой, что

a^.a^-1 = e, (a^-1)^.a = e.

Если, кроме того, для a,bGимеет место коммутативностьa^.b=b^.a, то группа называетсякоммутативнойилиабелевой.