Розв’язання

Згідно із законом збереження момента імпульсу

,

, (1)

де - момент інерції платформи з людиною, що стоїть на її краю;

- момент інерції платформи з людиною, що стоїть у центрі;

- кутові швидкості платформи в обох випадках.

, , (2)

де - радіус платформи.

Підставимо (2) в (1). Враховуючи, що , одержимо:

;

.

Після обчислення одержимо .

Контрольна робота №1

101. Залежність пройденого тілом шляху від часу описується рівнянням де м/с, м/с², м/с³. Визначити: а) залежність швидкості та прискорення від часу; б) середні значення швидкості та прискорення за перші 3 с руху.

Побудувати графік залежності шляху, швидкості та прискорення від часу в інтервалі с.

101. Залежність пройденого тілом шляху від часу описується рівнянням , де м/с², м/с³. Через який час після початку руху тіло зможе набути прискорення м/с²? Визначити середнє прискорення за цей інтервал часу.

102. Матеріальна точка рухається у площині XY згідно з рівнянням та , де м/с, м/с², м/с, м/с². Визначити модулі швидкостей та прискорень точки в момент часу с.

103. Кінематичні рівняння руху двох матеріальних точок мають вигляд та , де м/с², м/с³, м/с², м/с³. Визначити момент часу, в який прискорення цих точок будуть однакові.

104. Кінематичні рівняння руху двох матеріальних точок мають вигляд та , де , , . Визначити: 1) момент часу, у який швидкості цих точок будуть однакові; 2) прискорення та для цього моменту часу.

105. Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом м, задається рівнянням , де м/с², м/с³, м/с⁴. Визначити: 1) тангенціальне прискорення точки; 2) шлях, який пройде точка за час с після початку руху; 3) повне прискорення точки для моменту часу с.

106. Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням де м/с, м/с², м/с³. Записати вирази для швидкості та прискорення. Визначити для моменту часу с після початку руху: 1) шлях; 2) швидкість; 3) прискорення.

107. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху , де м, м/с, м/с³. Чому дорівнюють швидкість і прискорення точки в моменти часу і c? Знайти середні значення швидкості та прискорення за перші 10 с руху.

108. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Залежність пройденого шляху від часу описується рівнянням , де м, м/с². Визначити залежність швидкості та прискорення від часу; середню швидкість точки за другу секунду; шлях, який пройшла точка за п’яту секунду. Накреслити графіки залежності шляху, швидкості і прискорення від часу.

109. Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням , де м; м/с, м/с², м/с³. Визначити для тіла в інтервалі часу від с до с: 1) середню швидкість; 2) середнє прискорення.

111. Точка рухається по колу радіусом см із сталим кутовим прискоренням . Визначити тангенціальне прискорення точки, якщо в кінці третього оберту її нормальне прискорення дорівнює м/с².

112. Колесо радіусом м обертається так, що залежність кута оберту його радіуса від часу описується законом , де рад/с, рад/с³. Для точок, що знаходяться на ободі колеса, знайти через час с після початку руху: а) кутову швидкість, б) лінійну швидкість, тангенціальне, нормальне та кутове прискорення.

113. Колесо обертається так, що залежність кута оберту радіуса колеса від часу описується рівнянням , де рад/с, рад/с², рад/с³. Знайти радіус колеса, якщо наприкінці другої секунди руху для точок, що знаходяться на ободі колеса, нормальне прискорення м/с².

114. На циліндр, який може обертатися навколо горизонтальної осі, намотана нитка. До кінця нитки прив`язали тягарець та надали йому можливість опускатися. Рухаючись рівноприскорено, тягарець за час с опустився на м. Визначити кутове прискорення циліндра, якщо його радіус см.

115. Площадка будівельного підіймача з вантажем стоїть на нижній відмітці. Після вмикання двигуна площадка з вантажем прискорюється протягом с, після цього протягом хв піднімається зі сталою швидкістю і перед зупинкою уповільнюється протягом с. Діаметр барабана лебідки дорівнює см. Кутове прискорення барабана при старті і зупинці стале і дорівнює рад/c². Знайти висоту підйому і середню швидкість площадки.

116. Обертова піч для одержання цементного клінкеру має діаметр м. Через хв після початку руху піч обертається з частотою об/хв. Знайти кутову швидкість печі, лінійну швидкість точок на її зовнішній поверхні та число обертів за хв. Рух вважати рівноприскореним.

117. Скільки обертів зробить змішувальний барабан бетонозмішувача вільного падіння, якщо спочатку він рухався із сталим кутовим прискоренням рад/с², а потім протягом с обертався з частотою об/хв? Перед зупинкою рух був рівносповільненим з кутовим прискоренням рад/с². Побудувати графік залежності кутової швидкості від часу.

118. Диск радіусом см обертається навколо нерухомої осі згідно з рівнянням , де рад/с, рад/с², рад/с³. Визначити для точок на ободі диска через с після початку руху: 1) тангенціальне прискорення ; 2) нормальне прискорення ; 3) повне прискорення .

119. Диск обертається навколо нерухомої осі згідно з рівнянням , де рад/с². Визначити через с після початку руху: 1) кутову швидкість диска ; 2) кутове прискорення диска для точки, яка знаходиться на відстані см від осі обертання; 3) тангенціальне , нормальне та повне прискорення .

120. Диск радіусом см обертається так, що залежність лінійної швидкості точок на ободі диска від часу задається рівнянням , де м/с², м/с³. Визначити момент часу, для якого вектор повного прискорення утворює з радіусом колеса кут .

121. Колесо обертається рівносповільнено. За час хв частота обертання зменшилась від хв ^–1 до хв ^-1. Момент інерції колеса кг м². Знайти: 1) кутове прискорення колеса ; 2) момент сили гальмування ; 3) роботу сили гальмування і число обертів , які були зроблені колесом за цю хвилину.

122. Махове колесо починає обертатися з кутовим прискоренням с ^-2 і через час с після початку руху набуває моменту імпульсу кг м²/с. Знайти кінетичну енергію колеса через с після початку руху.

123. Олівець довжиною см, що стояв вертикально, падає на стіл. Яку кутову та лінійну швидкості будуть мати середина та верхній кінець олівця в останню мить падіння?

124. На однорідний циліндр радіусом см, момент інерції якого кг м², намотаний шнур, до кінця якого прив’язаний тягарець масою кг. До початку обертання тягарець знаходився на висоті м над підлогою. Визначити: 1) час, за який тягарець досягне підлоги; 2) кінетичну енергію тягарця у момент зіткнення з підлогою.

112. До шківа маховика, який має вигляд диска діаметром см та масою кг, прикладена сила кН у дотичному напрямку. Визначити кутове прискорення та частоту обертання маховика через час с після початку дії сили, якщо радіус шківа см. Силою тертя знехтувати.

113. На ободі маховика діаметром см намотана нитка, до кінця якої прив’язаний тягарець масою кг. Визначити момент інерції маховика, якщо за час с рівноприскореного обертання він набув кутової швидкості с^-1.

114. Диск має момент інерції кг м². Частота обертання диска за час хв зменшилась з хв^–1 до хв^-1. Визначити: 1) кутове прискорення диска; 2) момент сили гальмування; 3) роботу гальмування .

115. Однорідний стержень обертається навколо осі, що проходить через його середину, згідно з рівнянням , де рад/с, рад/с³. Визначити обертальний момент, який діє на стержень через час с після початку обертання, якщо момент інерції стержня кг м².

116. Визначити момент сили , який необхідно прикласти до диска масою кг та діаметром см, що обертається з частотою с^-1, щоб він зупинився за час с.

117. Маховик масою кг закріплений на шківі радіусом см і масою г. Ця система починає рухатися під дією тягарця масою г, що прив’язаний до одного з кінців шнура, намотаного на шків. Визначити частоту обертання маховика через с. Вважати, що вся маса маховика розподілена по його ободу на відстані см від осі обертання.

131. Під час горизонтального польоту із швидкістю м/с снаряд масою кг розірвався на дві частини. Більша частина масою кг набула швидкості м/с у напрямку польоту снаряда. Визначити модуль та напрям швидкості меншої частини снаряда.

132. Для вимірювання швидкості куль застосовують балістичний маятник, що складається з масивного вільно підвішеного на легкому стержні довжиною м тіла масою кг, в яке влучає куля, застряючи в ньому. Куля масою г відхиляє маятник з положення рівноваги на кут . Знайти за цими даними швидкість кулі . Удар вважати прямим та центральним.

133. Куля масою кг, під час рухалась, зіткнулася з кулею більшої маси, яка знаходилась у стані спокою, і втратила при цьому 40% кінетичної енергії. Визначити масу більшої кулі. Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.

134. Людина масою кг, яка бігла зі швидкістю км/год, наздогнала візок масою кг, що рухався зі швидкістю км/год, і вскочила в нього. Знайти швидкість руху візка з людиною. З якою швидкістю рухався б візок з людиною, якби людина бігла назустріч візку?

135. Тіло масою кг, яке рухалось по горизонтальній поверхні, зіткнулось із нерухомим тілом масою кг. Внаслідок центрального абсолютно непружного удару друге тіло набуло кінетичної енергії Дж. Знайти кінетичну енергію першого тіла до і після удару.

136. М’яч падає з висоти м на гладеньку підлогу. Якої початкової швидкості треба надати м’ячу, щоб після двох ударів об підлогу він піднявся до початкової висоти, якщо при кожному ударі м’яч втрачає 40% енергії?

137. Два тіла, що рухались горизонтально назустріч одне одному, зазнали центрального непружного удару. Знайти швидкість тіл після удару, якщо до удару кінетична енергія першого тіла була в 1,25 рази більшою від кінетичної енергії другого тіла.

138. В ящик з піском масою кг, підвішений на тросі довжиною , влучила зі швидкістю м/с куля масою г і застряла в піску. Внаслідок цього трос відхилився на кут від вертикалі. Визначити довжину троса .

139. Яка частина кінетичної енергії частинки масою г може передатися частинці масою г при непружному ударі? До удару друга частинка знаходилась у спокої.

140. У мішок з ватою масою кг, підвішений на тросі, влучила куля масою г, яка летіла горизонтально зі швидкістю м/с, і застряла в ньому. Визначити висоту підіймання мішка і частину кінетичної енергії, яку куля витрачає на пробивання вати.

141. Платформа що являє собою суцільний диск, обертається навколо нерухомої вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина, маса якої у 3 рази менша за масу платформи. Визначити, як та у скільки разів зміниться кутова швидкість обертання платформи, якщо людина наблизиться до центра платформи на відстань, що дорівнює половині радіуса платформи (людину вважати матеріальною точкою).

142. Людина масою кг стоїть на краю горизонтальної платформи радіусом м та масою кг, яка обертається навколо вертикальної осі з частотою хв^-1. Визначити роботу, яку виконує людина при переході від краю до центра платформи (платформу вважати однорідним диском, а людину – матеріальною точкою).

143. На лаві Жуковського стоїть людина і тримає у розведених у боки руках гирі масою кг кожна. Відстань кожної гирі від осі лави см. Лава обертається з частотою с^-1. Визначити частоту обертання лави та роботу , яку виконає людина, якщо підведе руки, що зменшить відстань кожної гирі від осі ( см). Момент інерції лави з людиною відносно осі лави кг м².

144. На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стержень, розташований вертикально. Лава з людиною обертається з кутовою швидкістю с^-1. З якою кутовою швидкістю буде обертатися лава з людиною, якщо людина переведе стержень у горизонтальне положення? Сумарний момент інерції людини та лави кг м², довжина стержня м, його маса кг. Вважати, що центр мас людини із стержнем знаходиться на осі платформи.

145. Горизонтальна платформа масою кг і радіусом м обертається з частотою хв^-1. У центрі платформи стоїть людина та у розведених руках тримає гирі. З якою частотою буде обертатися платформа, якщо людина опустить руки, чим зменшить свій момент інерції від кг м² до кг м²? Платформу вважати однорідним диском, а людину - матеріальною точкою.

146. На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руці колесо, що обертається навколо власної осі з кутовою швидкістю с^-1. Вісь колеса розташована вертикально й збігається з віссю лави Жуковського. З якою швидкістю буде обертатися лава, якщо колесо обернути навколо горизонтальної осі на кут ? Момент інерції лави разом із людиною кг м², момент інерції колеса кг м².

147. Платформа у вигляді диска діаметром м і масою кг може обертатися навколо вертикальної осі. З якою кутовою швидкістю буде обертатися платформа, якщо вздовж її краю пройде людина масою кг зі швидкістю м/с відносно платформи?

148. На краю платформи у формі диска стоїть людина масою кг, платформа обертається з частотою хв^-1. Коли людина перейшла у центр платформи, частота обертання зросла до хв^-1. Визначити масу платформи. Людину розглядати як матеріальну точку.

149. На краю нерухомої лави Жуковського діаметром м і масою кг стоїть людина масою кг. З якою кутовою швидкістю почне обертатися лава, якщо людина спіймає м’яч масою кг, який летить на неї з швидкістю м/с? Траєкторія польоту м’яча проходить горизонтально на відстані м від осі лави.

150. Горизонтальна платформа масою кг обертається з частотою хв^-1 навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи. Людина масою кг стоїть на краю платформи. З якою кутовою швидкістю буде обертатися платформа, якщо людина перейде до центра платформи? Вважати платформу однорідним диском, а людину – матеріальною точкою.

151. На горизонтальній площині стоять два зв’язаних ниткою однакові бруски, між якими встановлена стиснута пружина. Нитку перепалюють, і бруски роз’їжджаються в різні боки, відстань між ними збільшується на . Чому дорівнює потенціальна енергія стиснутої пружини? Маса кожного бруска , коефіцієнт тертя між брусками і площиною . Пружина не приєднана до брусків.

152. У невеличкий шматок м’якого заліза, який знаходиться на ковадлі масою кг, ударяє молот масою кг. Визначити ККД удару, вважаючи його непружним. Корисною вважати енергію, яка витрачається на деформацію заліза.

153. Для забивання залізобетонних паль перед спорудженням будинків використовують пристрій, який називається копрова баба. Визначити середню силу опору грунту при забиванні палі масою кг копровою бабою масою кг. Відомо, що після кожного удару (удар абсолютно непружний) паля заглиблюється в грунт на 5см. Копрова баба падає з висоти м.

154. Якщо на вертикально розташовану пружину покласти тягарець, то пружина стиснеться на мм. На скільки стисне цю пружину той самий тягарець, якщо він упаде на пружину з висоти см?

155. Тягарець масою кг падає з висоти м на підставку, прикріплену до пружини жорсткістю Н/см. Визначити абсолютне стиснення пружини.

156. Визначити роботу, що виконується під час розтягання двох послідовно з’єднаних пружин жорсткістю Н/м та Н/м відповідно, якщо перша пружина при цьому розтягнулася на см.

157. Визначити ККД непружного удару баби копра масою т, яка падає на палю масою кг. Корисною вважати енергію, витрачену на забивання палі.

158. З шахти глибиною м підіймають кліть масою т на канаті, кожний метр якого має масу кг. Яка робота здійснюється при піднятті кліті на поверхню Землі? Який ККД підіймального пристрою?

159. Дві пружини жорсткістю кН/м і Н/м з’єднані і розташовані паралельно. Визначити потенціальну енергію даної системи, здеформованої на см.

160. З рушниці, що має пружину жорсткістю Н/м, вистрілили кулею масою г. Визначити швидкість кулі, коли вона вилітає з рушниці, якщо пружина була стиснута на см.

161. Кулька діаметром см і масою кг котиться без ковзання по горизонтальній площині з об/с. Знайти кінетичну енергію кульки.

162. Уздовж похилої площини, яка утворює кут з горизонтом, скочується без ковзання суцільна однорідна кулька. Визначити час руху кульки, якщо відомо, що внаслідок скочування її центр мас опустився на 30 см. Тертям знехтувати.

163. Циліндр котиться по горизонтальній поверхні зі швидкістю м/с. Визначити шлях, який він зможе пройти вгору за рахунок кінетичної енергії, якщо нахил гори становить 5м на кожні 100м шляху.

164. Уздовж похилої площини, яка утворює кут з горизонтом, скочується без ковзання колесо радіусом см і масою кг. Визначити момент інерції колеса, знаючи, що його швидкість у останню мить руху м/с.

165. Уздовж похилої площини з однакової висоти скотились без ковзання циліндр і куля. Яке з тіл і у скільки разів матиме біля підніжжя похилої площини більшу швидкість?

166. Куля скочується з похилої площини висотою см. Яку лінійну швидкість буде мати куля біля підніжжя похилої площини?

167. Обруч та суцільний циліндр однакової маси кг котяться без ковзання з однаковою швидкістю м/с. Визначити кінетичні енергії цих тіл.

168. З похилої площини, яка утворює кут з горизонтом, скочуються без ковзання куля, диск і кільце. В той же час з цієї площини зісковзує без тертя якесь тіло. Визначити лінійні прискорення центрів мас всіх тіл, якщо їх початкові швидкості дорівнювали нулю.

169. По горизонтальній поверхні котиться куля масою кг зі швидкістю м/с, ударяється об стінку і відскакує від неї зі швидкістю м/с. Визначити, наскільки зменшилася кінетична енергія кулі.

170. Однорідний циліндр масою кг котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Швидкість осі циліндра м/с. Визначити кінетичну енергію циліндра.