Структура знания и структуры крипке

Предположим, мы имеем агентов 1, ..., к. Соответствующая структура

Крипке — это кортежгдеS — множество состояний, (s) —

приписывание истинности примитивности высказыванием для каждого состояния s S и ₁ — отношение достижимости (эквивалентности) на S (рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на S). Интуитивно (s,t) q, если и только если s и t неразличимы в том, что касается знания i-ro агента. Мы теперь определим, что означает, что формула может быть удовлетворена в состоянииs из М, что записывается как М, s ╞ φ.

— примитивное высказывание, если р — истинно при приписывании 7t(s).

Нетрудно показать, что в семантике Крипке модальности k_i обладает свойствами рефлексивности:транзитивностии симметричности и транзитивности вместе ¬ k_iφ=> k_i ¬ k_iφ. (k+1)-мир <f_o, ..., f_k> должен удовлетворять следующим семантическим ограничениям для каждо­го агента i:

(kl) Корректность: <fo, ..., f _k-1>fk(i), если k >1 («Реальный мир— это одна из возможностей для каждого агента») интуитивно это условие гово­рит, что знание всегда корректно (в отличие от веры).

Если хотим изучить веру, а не знания, тогда заменим семантическое ог­раничениеесли k > 1») на «f_k(i) не пусто если k >1».

(к2) Интроспекция. Еслитогда q_k-1 = f_k-1(i)

(«агент знает точно, что он знает»).

(кЗ) Расширениеесли и только если существуют

знания (к-1) порядка приписывания q_n-1 такого, что

_-1(i), если к >1 («i-знание более высокого порядка является расширение i-знания более низкого порядка»).

Байесовский подход

Экономисты используют байесовский подход для моделирования зна­ния, где вместо возможных и невозможных миров мы связываем вероятно­стное распределение на мирах с каждым агентом. В небайесовских моде­лях агент знает факт р, если р выполняется во всех мирах, которые агент считает возможными. В байесовском подходе агент знает факт р, если ве­роятность того, что р выполняется согласно распределению вероятностей агента равна 1.

В байесовской аналогии структуры знания определяется бесконечная ие­рархия веры. Если X — множество, пусть (х) определяет пространство вероятностных распределений над X. Рассмотрим множество S, называемое пространством неопределенностей с (определенными топологическими свойствами). Интуитивно S состоит из всех возможных состояний природы. Байесовское приписывание порядка f₀ это просто элемент S и <f_o> — байесовский 1-мир. Предположим индуктивно, что множество Х_к Байесовских k-миров было определено.

(к+1) — последовательность Байесовских приписываний это функция f_k: которая связывает с каждым агентом вероятностное распределе­ние на множестве байесовских k-миров, (k+1) — последовательность байе­совских приписываний — это последовательностьгде f_i — байе­совское приписывание i-ro порядка. (k+1)-мир — это (k+1)-последовательность байесовских приписываний, которые удовлетворяют определенным семантическим ограничениям. Бесконечная последовательность называется байесовской структурой знания, если каждыйпредикатесть байесовскийk-мир для каждого к.