Алетические модальности

Алетические модальности — это выраженная в суждении, в терминах необходимость — случайность либо возможность - невозможность информация о логической или фактической детерминированности суждения. В естественном языке показателями суждений возможности являются слова: «воз­можно», «может быть», «не исключается», «допускается». Например: договор купли-продажи жилого дома с условием пожизненного содержания продавца может быть расторгнут по требованию продавца, если покупатель не исполняет обязанностей, принятых на себя по этому договору. Возмож­ность обозначается знаком 0, необходимость — знаком . Детерминирован­ные суждения в модальных терминах возможности и невозможности выра­жаются следующим образом.

Необходимость р эквивалента невозможности p:

p = ◊Oр.

Возможность р эквивалента отрицанию необходимости p:

◊p =  р.

Вывод с умолчаниями в немонотонных логиках

Логики умолчаний введены для умозаключений, являющихся всего лишь правдоподобными. При неполной информации мы вынуждены получать все­го лишь правдоподобные, предположительные заключения. Для того чтобы учесть изменения в логическом описании ситуации, возникающие по мере поступления новых знаний, в логике умолчаний предлагается следующее расширение логики исчисления предикатов первого порядка. Логика с умолчаниями ∆- это пара <W,D>, где W - множество формул исчисления предикатов первого порядка (ИП) и D - множество умолчаний или правил вида А: М В/С (где А, В и С - ИП формулы и М является сокращением для слова «совместно»). Правила умолчания следует читать «Если А известно и B невыводимо, тогда выводи С». Идея состоит в том, что W представляет неполное описание мира и D представляет множество метаправил, исполь­зуемых для того, чтобы создать расширение описания. Например:

Предприятие(х): М является прибыльным (х)

является прибыльным (х)

что читается как «большинство предприятий являются прибыльными». Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями, состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил вывода. В ней содержатся формулы логики предикатов, представляющие основную часть информации, обрабатываемую в соответствии с имеющимися аксиомами. Содержатся также правила умолчаний, отражающие различные утверждения, касающиеся исключений. Логики умолчаний позволяют формализовать рас­суждения в виде правил вывода, называемых умолчаниями. Правило умол­чания D — это выражение вида:

Α(х):Мβ1(х),...,βm(х) γ(х)

где α(х), β₁(x),...β_m(x),γ(x) — формулы языка ИП, свободные переменные у которых выбраны среди х - (x₁...,x_n), α(х) называется требованием умолча­ния, |β_i(х) — обоснование умолчания D_i, i = 1,...,т, γ(х) — следствие умолча­ния D, М — некий символ метаязыка. Интуитивный смысл таков: если мы верим в α(х) и если β₁(x), ..., β_т(х) выполнимо вместе со всем, во что мы ве­рим, то можно верить и в у(х).

Умолчание D называется замкнутым тогда и только тогда, когда α(х), β₁ (х), ..., β_m(x), γ(Х) не содержат свободных переменных. Свободные пере­менные умолчания считаются -квантифицированными. Область действия этих кванторов простирается на все члены умолчания. Незамкнутое умолча­ние называется открытым. Его конкретизацией является замкнутое умолча­ние, полученное заменой всех свободных переменных открытого умолчания на константы языка ИП.

Теория с умолчаниями подразумевает некоторое (нулевое или боль­шее) число множеств предложений, которые выводимы с использованием множества формул W и удовлетворяют свойству выполнимости. Эти множества предложений называются расширением данной теории с умолчанием. Расширение — это надмножество основных сведений, вклю­чающее все выводимое по правилам классической логики и/или логики умолчаний.

Применение правил умолчания в различном порядке может порождать различные варианты расширения, например набор высказываний <{AB}, {:MA/A,:MB/B}> дает в одном варианте расширение, содержащее А и B и расширение, содержащие В иА. Расширения должны быть внутреннесовместны, но как можно видеть из примера, два различных расширения мо­гут быть несовместны. Теория с умолчаниями может иметь нуль или более расширений, каждое из которых является минимальным множеством Е со следующими свойствами.

1. Любое расширение Е содержит W.

2. Е замкнуто относительно монотонной дедукции.

1. Е нечувствительно к умолчаниям (если A: MB/CD и АЕ и BD то­гда С D).

Доказательство в теории с умолчаниями определяется следующим обра­зом. Пусть f — замкнутая формула ИП. Конечная последовательность D₀,.. .,D_k есть доказательство для f в ∆ тогда и только тогда, когда:

l.W U{KC(D₀)}├f,

2.W U{KC(D_i)}├ КТ(D_i-1)для1=1,2,...,k,

3. D_k ø,

4. W U {KC(D_i)}/0 < i < k} выполнимо, где KC(D_i) — конъюнкция следст­вий и KT(D_i) — конъюнкция требований умолчаний из D_i, таким образом доказательство есть последовательность подмножеств умолчаний.

Пусть X — подмножество W, Th_w(x) — множество замкнутых формул, общезначимо выводимых из X по классическим правилам вывода из W:

Th_w(x) = {w │w W, w — замкнута и X ├w}.

Пусть ∆ = (W,D) — теория с умолчаниями, S — подмножество в W. Обозначим F(S) — наименьшее подмножество в W, удовлетворяющее следую­щим трем условиям:

W Г(S),

Th_w(Г(S)), если

Множество формул EW является расширением для А тогда и только тогда, когда Г(Е) = Е, т.е. Е — неподвижная точка оператора Г.

Некоторые теории с умолчаниями не обладают расширениями. Они состоят из нормальных умолчаний.