9. Операции с нечеткими множествами (эквивалентность, включение, нечеткая операция «и», «или», «не»). [1/2]

1. Операция эквивалентности

2. Операция включения

3. Нечеткая операция «НЕ» (дополнение)

- нечеткая операция НЕ по Заде - НЕ по Сугено

4. Нечеткая операция «И»

а) логическое произведение (Заде)

- min-конъюкция

б) алгебраическое произведение (Бандлер, Коходт)

в) граничное произведение (Лукасевич, Гринс)

г) драстическое произведение (Вебер)

*9. Операции с нечеткими множествами (эквивалентность, включение, нечеткая операция «И», «ИЛИ», «НЕ»). [2/2]

5. Нечеткая операция «ИЛИ»

а) логическая сумма (Заде)

- max-дизъюнкция

б) алгебраическая сумма

в) граничная сумма

г) драстическая сумма

10.Обобщение операций пересечения и объединения в классе т-норм и s-конорм[1/2].

Один из подходов к обобщению операторов пересечения и объединения заключается в классе треугольных норм Т-норм и S-конорм.

Т-норма – операция пересечения.

S-конормы – операция объединения.

Т-нормы и S-конормы обладают следующими св-ми:

1) T(x,y) и S(x,y) – это функции двух переменных, область определения которых 0≤x≤1, 0≤y≤1, а область значений 0≤ T(x,y)≤1, 0≤ S(x,y)≤1:

T:[0,1]x[0,1]→[0,1]; S:[0,1]x[0,1]→[0,1].

2) Коммутативность. T(x,y)=T(y,x); S(x,y)=S(y,x).

3) Ассоциативность. T[T(x,y),z]=T[x,T(y,z)]; S[S(x,y),z]=S[x,S(y,z)].

4) Монотонность. T(x,y)= T(u,v), x=u, y=v; S(x,y)= S(u,v), x=u, y=v.

5) Ограниченность. T[0,y]=0; T[1,y]=y; S[0,y]=y; S[1,y]=1.

T(x,y) и S(x,y) называются триангулярными (треугольными) функциями, т.к. они определяются в треугольной области.

Т-норма: T(x,y). «И»	S-конорма: S(x,y). «ИЛИ»
1. Логическое произведение Tmin(x,y)=min{x,y}; Tmin(x1,x2,...,xn)=min{x1,x2,...,xn}	1. Логическая сумма Smax(x,y)=max{x,y}; Smax(x1,x2,...,xn)=max{x1,x2,...,xn}
2. Алгебраическое произведение Tprod(x,y)=x∙y; Tprod(x1,x2,...,xn)=	2. Алгебраическая сумма Ssum(x,y)=x+y-x∙y; Ssum(x1,x2,...,xn)=
3. Граничное произведение Tmax(x,y)=max(0;x+y-1); Tmax(x1,x2,...,xN)= =	3. Граничная сумма Smin(x,y)=min(1;x+y); Smin(x1,x2,...,xn)=
4. Драстическое произведение	4. Драстическая сумма

Для любых заданных значений x,y справедливо:

0 ≤ T(x,y) ≤ T(1,y) ≤ y ≤ S(0,y) ≤ S(x,y) ≤ 1.

*10.Обобщение операций пересечения и объединения в классе Т-норм и S-конорм [2/2].

0 ≤ драстическое произведение (x,y) ≤ граничное произведение (x,y) ≤ алгебраическое произведение (x,y) ≤ логическое произведение (x,y) ≤ логическая сумма (x,y) ≤ алгебраическая сумма (x,y) ≤ граничная сумма (x,y) ≤ драстическая сумма (x,y) ≤ 1.

Пр. μ_A(x)=0,5 ; μ_B(x)=0,1.

«И»:

1) T_min(μ_A(x); μ_B(x))=min((μ_A(x); μ_B(x)))= min(0,5; 0,1)=0,1;

2) T_prod(μ_A(x); μ_B(x))= μ_A(x)∙μ_B(x)=0,5*0,1=0,05;

3) T_max(μ_A(x); μ_B(x))=max(0; μ_A(x) + μ_B(x) –1)=max(0; 0,5+0,1–1)=0;

4) T_{μA(x)∆μB(x)}=0, т.к. max(μ_A(x); μ_B(x))=max(0,5; 0,1)=0,5<1.

«ИЛИ»:

1) S_max(μ_A(x); μ_B(x))=max((μ_A(x); μ_B(x)))= max(0,5; 0,1)=0,5;

2) T_sum(μ_A(x); μ_B(x))= μ_A(x)+μ_B(x) – μ_A(x)∙μ_B(x)= 0,5+0,1 – 0,5*0,1=0,55;

3) T_min(μ_A(x); μ_B(x))=min(1; μ_A(x)+ μ_B(x))=min(1; 0,5+0,1)=0,6;

4) T_{μA(x)▼μB(x)}=1, т.к. min(μ_A(x); μ_B(x))=min(0,5; 0,1)=0,1>0.