- •Введение
- •1. Организационно-методический раздел
- •1.1. Цели и задачи дисциплины
- •1.2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы (ооп)
- •1.3. Требования к результатам освоения дисциплины
- •1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •2. Содержание дисциплины
- •2.1. Содержание разделов дисциплины
- •Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции
- •Раздел 2. Предел и непрерывность функции
- •Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Раздел 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Раздел 6. Числовые и степенные ряды
- •Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные связис обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
- •2.3. Разделы дисциплины и виды занятий
- •2.4. Основные виды занятий и особенности их проведения при изучении дисциплины
- •2.3.1. Лекционные занятия
- •2.3.2. Практические занятия
- •Содержание практических занятий
- •2.5. Самостоятельная работа
- •3. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Рекомендуемая литература (основная)
- •Рекомендуемая литература (дополнительная)
- •5.1.3. Система текущего и итогового контроля знаний студентов
- •Технологическая карта
- •5.2. Контрольные работы
- •Тематика контрольных работ
- •5.3. Перечень контрольных вопросов к экзамену
- •I. Введение в анализ: множества, функция. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •III.Исследование функций с помощью производной
- •IV.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •V. Неопределённый интеграл
- •VI.Определённый интеграл
- •VII.Числовые ряды.
- •VIII.Функциональные ряды.
- •IX.Дифференциальные уравнения.
- •5.4. Перечень примерных задач для подготовки кэкзамену
- •I. Введение в анализ: множества, функция. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •II. Дифференциальное исчислениефункции одной переменной.
- •III.Исследование функций с помощью производной.
- •IV.Неопределённый интеграл.
- •V.Определённый интеграл.
- •VI.Числовые ряды.
- •VII.Функциональные ряды.
- •VIII.Функции нескольких переменных.
- •IX.Дифференциальные уравнения.
- •1. Решить дифференциальные уравнения.
- •2. Решить дифференциальные уравнения.
- •3. Решить дифференциальные уравнения.
- •4. Решить задачи.
- •5. Решить дифференциальные уравнения.
- •6. Решить дифференциальные уравнения.
- •7. Решить дифференциальные уравнения.
- •8. Решить системы дифференциальных уравнений.
- •5.5. Примерный составзаданий варианта билета к экзамену
- •5.5.1. Экзамен №1
- •5.5.2. Экзамен №2
- •6. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
IX.Дифференциальные уравнения.
1. Решить дифференциальные уравнения.
1.1. ху'-у=у3; Ответ:
1.2. ху*у'=1-х2 ; Ответ: х2+у2=ln(cх2)
1.3. у-ху'=1+х2у'; Ответ:
1.4. хуdx+(x+1)dy=0; Ответ: у=с(х+1)*℮-х
1.5. ; Ответ: , х=0
1.6. 2х2уу'+у2=2; Ответ:
1.7. уу'+х=1; Ответ: у2+х2-2х=с
1.8. у'=10х+у Ответ: у=-ln(c-10x)
1.9. у'-у=2х-3; Ответ: 2х+у-1=с*℮х
1.10. (сделайте замену переменных):
(2х-у)dx+(4x-2y+3)dy=0; Ответ: 5х+10у+с=3ln(10x-5y+6)
2. Решить дифференциальные уравнения.
2.1. ; Ответ:
2.2. (х-у)*уdx-x2dy=0; Ответ: ; у=0
2.3. (х2+у2)dx-2xydy=0; Ответ: (х-с)2-у2=с2
2.4. ; Ответ: , у=0
2.5. ydy+(x-2y)dx=0; Ответ: х=(у-х)*lnc(y-x), у=х
2.6. ; Ответ:
3. Решить дифференциальные уравнения.
3.1. ; Ответ: у=сх+х2
3.2. ; Ответ:
3.3. у2dx-(2xy+3)dy=0; Ответ:
3.4. у'-у=℮х; Ответ: у=(х+с)*℮х
3.5. ху'-2у=х, у(1)=-1; Ответ: у=-х
4. Решить задачи.
4.1. Определить численность населения России через 20 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его наличному количеству, и зная, что население России в 2000 году составляло 145 миллионов человек, а прирост населения за 2000 год был равен 2%.
Ответ: (миллионов человек)
4.2. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройдённому пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?
Ответ: 200 метров.
4.3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4; 1) для которой:
а) отрезок любой касательной к кривой, заключенной между осями координат, делится точкой касания пополам;
б) отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Ответ: а) ; б) .
4.4. Найти выражение объёма реализованной продукции у=у(t) и его значение при t=2, если известно, что кривая спроса имеет вид Р(у)=3-2у, норма акселерации , норма инвестиций β=0,6; у(0)=1.
Ответ: ;
5. Решить дифференциальные уравнения.
5.1. у'''=℮2х Ответ:
5.2. х(у''+1)+у'=0 Ответ:
5.3. уу''=(у')2-(у')3, у(0)=1; у'(0)=2 Ответ:
5.4. 2у(у')+у''=0, у(0)=0; у'(0)=-3 Ответ: у3-у=3х
6. Решить дифференциальные уравнения.
1. у''-4у=3х2+2х+1 Ответ:
2. у''+у'-2у=х2+3 Ответ:
3. у''-5у'=3х+1 Ответ: у=С1+С2℮5х-0,3х2-0,32х
4. у''+4у'=2х-1 Ответ:
5. у''-4у=℮2х Ответ:
6. у''+у'-2у=℮2х Ответ:
7. у''+4у=sin2x+2cos2x Ответ:
8. у''+1=cosx Ответ: