У равнение прямой:

У равнение гиперболы:

У равнение параболы второго порядка:

Степенное уравнение:

П оказательное уравнение

Многофакторная корреляционная связь чаще всего описывается линейным уравнением множественной регрессии:

Параметр α₁ в уравнении прямой называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного на единицу. При прямой корреляционной связи коэффициент регрессии имеет положительный знак, при обратной – отрицательный.

Количественная характеристика корреляционной связи дается с помощью ряда статистических показателей – коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.

Наиболее распространенным и совершенным методом изучения корреляционных связей является корреляционно-регрессионный анализ.

В процессе корреляционно-регрессионного анализа (КРА) решаются следующие задачи:

1. определение формы и направления связи, ее количественное выражение в виде уравнения регрессии;

2. характеристика тесноты связи.

3. определение значимости, существенности выборочных характеристик тесноты корреляционной связи;

Параметры уравнения регрессии находятся способом наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров уравнения, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, минимальна. Он дает систему нормальных уравнений, решая которую определяют параметры уравнения регрессии.

Для уравнения парной линейной регрессии у_х=α₀+α₁х система нормальных уравнений следующая: следующая::

Для гиперболы:

Для параболы второго порядка:

Параметры уравнения множественной регрессии при большом числе факторов рассчитываются на ЭВМ.

Для характеристики тесноты парной корреляционной связи используются в основном два показателя:

• линейный коэффициент корреляции и соответствующий ему коэффициент детерминации;

• корреляционное отношение и соответствующий ему индекс детерминации.

Д ля измерения тесноты парной линейной связи вычисляется линейный коэффициент корреляции. Статистика разработала ряд формул линейного коэффициента корреляции:

г де σ_х- среднее квадратическое отклонение по факторному признаку;

σ _у – среднее квадратическое отклонение по результативному признаку.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до плюс единицы. Положительный коэффициент корреляции указывает на прямую корреляционную связь, отрицательный – на обратную. Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии. Принята следующая условная градация коэффициента корреляции: r<0,3 – связь слабая, r=0,3 – 0.7 – связь средней силы, r>0.7 – связь тесная.

Квадрат коэффициента корреляции носит название коэффициента детерминации. Он показывает долю факторного признака в вариации результативного.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь при линейной форме зависимости. Для характеристики тесноты связи любой формы используется корреляционное отношение. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

где δ² – факторная дисперсия – дисперсия теоретических значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ² – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Указанные дисперсии исчисляются по формулам:

г де у_х – теоретические значения результативного признака;

ỹ - среднее значение результативного признака в совокупности;

у – фактические (эмпирические) значения результативного признака.

При линейной связи корреляционное отношение и коэффициент корреляции равны.

Корреляционное отношение может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе данный показатель к единице, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

Параметры уравнения регрессии и коэффициент корреляции могут быть рассчитаны с помощью табличного процессора Excel. Для этого на лист Excel копируем исходные данные. В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке OK, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака, в поле Входной интервал Х вводим значения факторных признаков. Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK. На рабочем листе появляются результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.