3.5. Статистические оценки параметров распределения

Изучаемую совокупность можно считать выборкой из генеральной совокупности, состоящей из большого множества сельскохозяйственных предприятий. На основе показателей, рассчитанных по выборке, дают статистическую оценку параметров генеральной совокупности.

Статистической оценкой называется специальная функция, вычисляемая на основании выборочных данных для приближенной замены неизвестного параметра распределения или самого распределения. Различают оценки смещённые и несмещённые, точечные и интервальные.

Возможное расхождение между выборочными и генеральными характеристиками составляет ошибку выборки.

Стандартная ошибка выборочной средней определяется по формуле:

Точечной оценкой генеральной средней является выборочная средняя .

Для определения интервальной оценки необходимо найти доверительный интервал , ,

где - предельная ошибка выборочной средней; - коэффициент доверия, который определяют по таблице распределения Стьюдента по заданным и при малой выборке n <= 30 (приложение 4).

Для нахождения доверительного интервала в Excel выбираем Статистические функции – Доверит, ОК, в появившемся окне заполняем поля: Альфа - уровень значимости (α = 0,05 или 0,01 для социально-экономических явлений); Стандартное отклонение – среднее квадратическое отклонение; Размер – объём выборки (в нашей работе n=30). Нажимаем ОК, появляется значение функции. Так, для урожайности озимой пшеницы в поле Альфа ставим уровень значимости α = 0,05; в поле Стандартное отклонение – 0,4947, в поле Размер – объём выборки 30. При нажатии ОК видим значение 0,177. Это предельная ошибка выборки, С её помощью строим доверительный интервал для генеральной средней:

Вывод: с вероятностью 0,95 мы можем утверждать, что генеральная средняя не выйдет за пределы от 25,7 до 26,1 ц/га.

Аналогичные действия выполним для затрат труда на 1 ц зерна. В соответствующие поля введём уровень значимости, среднее квадратическое отклонение, объём выборки: 0,05; 0,04; 30. Щёлкаем ОК и получаем 0,014. Строим доверительный интервал:

Вывод: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средние затраты труда на 1 ц зерна находятся в интервале от 1,096 до 1,124 чел.-ч.

3.6. Проверка гипотезы о законе нормального распределения

Для объективной оценки степени соответствия эмпирического распределения теоретическому используется ряд особых показателей, называемых критериями согласия. На их базе проверяется гипотеза о законе нормального распределения. Это критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Смирнова и др. Мы рассмотрим критерий Пирсона.

Критерий Пирсона (хи-квадрат) определяется по формуле:

,(1)

где (хи-квадрат) – критерий Пирсона; n_i – эмпирические частоты; n_t – теоретические частоты.

Теоретические частоты вычисляются по формуле:

,(2)

где – теоретические частоты; - фактические частоты; - шаг (величина интервала); - нормированные отклонения; - значения функции плотности стандартизированного нормального распределения (даны в приложении 2).

Вычисления выполняются в следующей последовательности.

1)Определяются нормированные отклонения:

(3)

2)При рассчитанных значениях t по таблице плотности нормального распределения (значений дифференциальной функции

отыскиваются значения функции плотности стандартизированного нормального распределения.

3)Вычисляется выражение .

4)По приведённой выше формуле (1) рассчитывается критерий Пирсона.

4)Подставляя в формулу значения φ(t) и , определяют теоретические частоты.

Рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным при соответствующем числе степени свободы и заданном уровне значимости. Если расчетное значение χ² меньше табличного, то делается вывод о несущественности расхождений между эмпирическим и теоретическим распределением (т.е. нулевая гипотеза о том, что распределение подчиняется закону нормального распределения, принимается). В противном случае утверждается, что исследуемое эмпирическое распределение имеет отличный от теоретического закон распределения.

Возможен вариант проверки гипотезы соответствия эмпирического распределения теоретическому с помощью таблиц определения вероятности Р(χ²). В таблице распределения Пирсона (приложение 9) по рассчитанной величине χ² и числу степеней свободы ν=к-1 находим вероятность Р(χ²). При Р>0.5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки. В остальных случаях делается вывод о несовпадении эмпирического и теоретического распределений.