Модуль 4

5. Коливання та хвилі.

5.1. Власні коливання.

Коливаннями називаються процеси, коли деяка фізична величина періодично відхиляється в обидві сторони від сталого положення рівноваги під дією повертальної сили. Незважаючи на різноманітність коливань, усім їм властиві деякі характеристики:

1. Період коливань Т – час одного повного коливання.

2. Частота коливань  – число коливань, які виконуються за одиницю часу. Як видно з визначення, частота обернена періоду коливань:  = 1/Т.

3. Амплітуда коливань х₀ – найбільше відхилення величини, що здійснює коливання, від положення рівноваги, яке приймається за нульове.

4. Закон коливань – залежність даної фізичної величини від часу: х(t).

Для виникнення та існування коливань необхідно, по – перше, систему вивести з положення рівноваги, по - друге, в цій системі повинна існувати сила, яка намагатиметься повернути систему до положення рівноваги. Якщо система після виведення з положення рівноваги залишається сама по собі, то коливання, що виникають, будуть називатись власними або вільними.

Повертальна сила підпорядковується узагальненому закону Гука:

F = -kx, (5.1)

де зміщення від положення х завжди мале і напрямлене в сторону, протилежну напрямку дії повертальної сили (знак мінус). Коефіцієнт пропорціональності к, нарівні з мірою інертності – масою коливного тіла m, визначає власну циклічну частоту коливань ₀ в нормалізованій формі запису рівняння Ньютона для системи, яка розглядається:

(5.2)

Звідси витікає рівність:

(5.3)

Очевидно, що допущення відсутності сил тертя і опору середовища (завжди реально існуючих) приводить до ідеалізованої моделі власних коливань. Їх відрізняючою рисою є сталість амплітуди х₀ і, як наслідок, збереження механічної енергії коливань для будь-якого моменту часу:

(5.4)

Механічна енергія є сумою потенціальної і кінетичної складових, які взаємно пов’язані в процесі коливань таким чином, що їх сума Е₀ лишається сталою (рис.5.1). Є математичний доказ того, що інтегральною формою або рішенням диференціального рівняння (5.2) є гармонічні функції. Коливання, що відбуваються за законом синуса або косинуса, мають назву гармонічних. Рівняння гармонічних коливань мають вигляд:

(5.5)

або

(5.6)

де x – значення величини, що здійснює коливання, в момент часу t, x₀ – амплітуда коливань. Величина (₀ t + ₀), що знаходиться під знаком синуса або косинуса, має назву фази коливань, ₀ - початкова фаза коливань (дорівнює значенню фази в початковий момент часу). Величина  називається циклічною частотою коливань. Вона зв’язана з періодом рівністю:

(5.7)

За природою коливання можливо поділити на механічні та електромагнітні. Оскільки ми в подальшому будемо експериментально вивчати згасаючі електромагнітні коливання, то розглянемо більш детально саме їх.

Електромагнітні коливання виникають та відбуваються в коливальному контурі. Це замкнене коло, яке складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С, котушки індуктивністю L та резистора опором R (рис.5.2).

Замкнемо ключ на клему 1, зарядимо конденсатор. При цьому на верхній пластині конденсатора зявиться позитивний заряд, на нижній – такий самий за величиною, але негативний заряд. Перекинемо тепер ключ на клему 2. Конденсатор почне розряджатись. Зростаючий струм розряду викличе в котушці електрорушійну силу (ЕРС) самоіндукції, напрямлену проти струму:

(5.8)

Після того, як конденсатор розрядиться, струм почне зменшуватись. При цьому виникне ЕРС самоіндукції, напрямлена тепер за струмом. Внаслідок цього конденсатор спочатку перезарядиться, а потім почне розряджатись в зворотному напрямку. Для встановлення характеру коливань запишемо друге правило Кірхгофа для ділянки I 2 R L II. Напрям обходу контуру оберемо за рухом годинникової стрілки. При такому напрямку обходу струм розряду буде позитивний, а сила струму в котушці індуктивності буде дорівнювати швидкості, з якою зростає заряд нижньої пластини конденсатора С. В результаті одержимо :

(5.9)

Розглянемо два частинні випадки.

а. Опором контуру R можна знехтувати. Покладемо в рівнянні (5.9) R = 0 і врахуємо, що , де q – заряд нижньої пластини, , одержимо

(5.10)

Це рівняння не відрізняється від диференціального рівняння (5.2), якщо провести заміну основної досліджуваної змінної x(t) на q(t) і визначити власну циклічну частоту LC контуру (R  0), як:

(5.11)

З цього рівняння виходить, що заряд на пластинах конденсатора змінюється за гармонічним законом, тобто

, (5.12)

а період визначається формулою Томсона

(5.13)

Очевидно, що допущення відсутності електричного опору має наслідком умову збереження енергії електромагнітного поля для будь-якого моменту часу t, аналогічне умові (5.4) для механічної енергії:

(5.14)

б. Опором контуру R нехтувати не можливо. Тоді, підставляючи в рівняння (5.9) значення

,

одержимо

.

Звідси, вводячи позначення

, (5.15)

, (5.16)

можна отримати

(5.17)

Це рівняння повністю визначає характер коливань заряду і має назву рівняння згасаючих коливань в диференціальній формі. Розв’язання цього диференціального рівняння дає значення q(t), як функцію часу в явному вигляді. В курсі диференціальних рівнянь доводиться, що якщо виконується умова докритичних коливань  < ₀, то розв’язання рівняння має вигляд:

(5.18)

д е q₀ та ₀ - довільні сталі, що визначаються з початкових умов, - циклічна частота згасаючих коливань. Вираз (5.18) має назву рівняння згасаючих коливань в інтегральній формі. Величина має назву амплітуди згасаючих коливань. Графічна залежність q_m(t) побудована на рис.5.3. Пунктирна лінія – амплітуда згасаючих коливань.

Величина  має назву коефіцієнта згасання. Її фізичний зміст можна встановити, якщо розглянути проміжок часу  , за який амплітуда коливань зменшується в е разів (цей час має назву час релаксації). Можна довести, що коефіцієнт згасання обернений часу релаксації, тобто . Період згасаючих коливань тоді буде визначатись формулою

(5.19)

Згасання за один період характеризують логарифмічним декрементом згасання , який дорівнює натуральному логарифму відношення амплітуд через повний період коливань, тобто

(5.20)

Підставляючи вирази для амплітуд згасаючих коливань з урахуванням проміжку часу Т між амплітудами, можливо отримати

(5.21)

де N_e - число повних коливань, через які амплітуда коливань зменшиться в е разів. Таким чином, логарифмічний декремент згасання є величина, обернена числу коливань, через які амплітуда зменшується в е разів.

Якість коливальної системи характеризується також величиною її добротності. За визначенням добротність дорівнює

(5.22)

Раніше відмічалося, що інтегральне розв’язання згасаючих коливань у вигляді (5.18) є справедливим у випадку  < ₀. Замінюючи коефіцієнт згасання та циклічну частоту відповідними виразами, можна одержати , а отже

(5.23)

Таким чином, якщо умова (5.23) не виконується, то коливання не виникають. Якщо система виведена з положення рівноваги, вона дуже швидко повертається в нього (демпфірує) при виконанні критичної умови: ₀ = . В інших випадках, коли   ₀, система релаксує повільно (закритично).