3.2.1. Закони постійного струму.

1. Постійний струм може текти тільки в замкненому колі.

2. Сила струму через будь – який переріз провідника однакова (якщо не має розгалуження). В протилежному випадку відбувалось би накопичування зарядів.

3. Закон Ома для однорідної ділянки кола. Однорідною ділянкою кола будемо називати ділянку кола, в якій немає сторонніх сил. Сила струму на ділянці кола прямо пропорційна різниці потенціалів на кінцях ділянки:

(3.34)

Величина R називається опором ділянки кола. Для однорідного провідника довжиною  та площею поперечного перерізу S справедлива формула для опору:

(3.35)

Величина r має назву питомого опору. Величина, обернена питомому опору, називається питомою електропровідністю

(3.36)

Для металевих провідників питомий опір збільшується лінійно з температурою t (в градусах Цельсія):

(3.37)

Величина a називається температурним коефіцієнтом опору, r₀ – питомий опір при температурі 0 ^оС.

Для деяких провідників при низьких температурах відбувається явище надпровідності, коли опір стрибком зменшується до нуля. Це явище було відкрите для ртуті Камерлінгом – Оннесом в 1911 році. Температура переходу в надпровідний стан становила 4.15 К. Для інших металів та сплавів температурі інші, але також низькі.

4. Закон Джоуля – Ленца. На ділянці кола безперервно відбувається виділення теплоти. Кількість теплоти, яка виділяється на ділянці кола, прямо пропорційна квадрату сили струму, опору провідника та часу протікання струму, тобто

(3.38)

4. З акон Ома для неоднорідної ділянки кола. Якщо в колі існують сторонні сили, то таку ділянку будемо називати неоднорідною. Розглянемо таку ділянку, яка складається з опору R (зовнішнього опору) та джерела струму з ЕРС ε та внутрішнім опором r (рис. 3.1).

Запишемо кількість теплоти, що виділяється на цій ділянці за час dt згідно з законом Джоуля – Ленца, а також врахуємо, що добуток сили струму на час протікання струму дає перенесений за цей час заряд:

(3.39)

Згідно з законом збереження енергії ця теплота повинна дорівнювати роботі всіх сил по переміщенню заряду dq уздовж кола, тобто

(3.40)

Прирівнюючи вирази (3.39) і (3.40), скорочуючи на заряд dq обидві частини рівності, для сили струму знайдемо:

(3.40)

Це математичний вираз закону Ома для неоднорідної ділянки кола: сила струму на неоднорідній ділянці кола прямо пропорційна напрузі між кінцями кола (складається з різниці потенціалів та електрорушійної сили) та обернено пропорційна загальному опору ділянки кола (складається з зовнішніх та внутрішніх опорів).

Р озглянемо частинні випадки. Якщо коло замкнене, тобто точки В та С збігаються, то Dj = 0 (j_В = j_С) і тоді ми приходимо до закону Ома для замкненого кола у вигляді (3.41)

Нехай тепер немає джерела струму, тобто ε = 0, r = 0. Тоді ми прийдемо до закону Ома для однорідної ділянки кола у вигляді (3.34).

Для використання закону Ома для неоднорідної ділянки кола необхідно встановити правила знаків. По – перше, необхідно обрати один з двох напрямів уздовж ділянки кола за позитивний. Далі, електрорушійна сила буде мати позитивний знак, якщо напрям напруженості поля сторонніх сил (від негативного полюсу джерела струму до позитивного) збігається з позитивним напрямом. Якщо ж ці напрями протилежні, то ЕРС буде негативною. Сила струму буде мати позитивний знак, якщо позитивні носії струму рухаються уздовж позитивного напряму, і негативний у протилежному напрямку.

Розглянемо це на прикладі кола, зображеного на рис.3.2. Закон Ома в цьому випадку буде мати такий вигляд . Якщо при підстановці чисельних значень виходить, що сила струму буде негативною за знаком, то це означає, що струм насправді тече в протилежному напрямі, тобто від точки С до точки В.

4. Закон Ома в диференціальній формі.

Розглянемо провідник, уздовж якого протікає електричний струм. Виділимо всередині провідника малий прямий циліндр довжиною d та площею основи dS. Якщо провідник однорідний, то закон Ома для цього малого циліндра буде мати вигляд:

,

де dj - різниця потенціалів між кінцями циліндра, R – його опір. Останній можна записати через питомий опір . Крім того, силу струму можна виразити через густину струму . Тоді одержимо . Скорочуючи обидві частини рівності на dS, а також враховуючи закон між напруженістю та потенціалом, одержимо

(3.42)

Останній вираз запишемо також у векторній формі

(3.43)

Нехай тепер в колі присутні сторонні сили. Тоді в правій частині рівності треба додати також напруженість поля сторонніх сил:

(3.44)

4. Закон Джоуля – Ленца в диференціальній формі.

Розглянемо як і раніше частину провідника у вигляді малого прямого циліндра довжиною d та площею основи dS. При протіканні електричного струму відбувається виділення теплоти, кількість якої згідно з законом Джоуля – Ленца пропорційна квадрату сили струму, опору циліндра та часу протікання струму, тобто

(3.45)

Врахуємо зв’язок між силою струму та густиною струму, а також перепишемо опір провідника через питомий опір та його розміри:

Введемо в розгляд величину – питому потужність, яка дорівнює відношенню кількості теплоти, що виділяється в деякому об’ємі за деякий час, до величини цього об’єму та часу:

(3.46)

Тоді поділивши рівність (3.45) на dV та t, одержимо, що питома потужність прямо пропорційна квадрату густини струму та питомому опору ділянки провідника. Використовуючи закон Ома в диференціальній формі, можна одержати також ще дві форми запису закону Джоуля – Ленца:

(3.47)

4. Правила Кірхгофа для розгалужених кіл постійного струму.

Ми будемо розглядати сукупність нерозгалужених ділянок, кінці яких з’єднуються в вузлах. Вузол – це точка, в якій перетинаються три або більше провідника. В усіх перерізах однієї ділянки сила струму однакова. Але в різних ділянках сила струму різна. Зрозуміло, що сума сил струмів, які втікають у вузол, повинна дорівнювати сумі сил струмів, які витікають з вузла. Якщо б це було не так, то заряд накопичувався б у вузлі. Запишемо це так:

Тут в лівій частині рівності струми, які втікають у вузол, а в правій частині – які витікають. Домовимось вважати струми, що втікають у вузол, позитивними, а струми, які витікають з вузла, негативними. Тоді можна сформулювати перше правило Кірхгофа так: алгебраїчна сума сил струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює нулю. Тобто

(3.48)

Для формулювання другого правила Кірхгофа необхідно розглянути контур - сукупність замкнених ділянок. Для будь – якого контуру сума спадів напруги (добутків сили струму на опір) на усіх ділянках контуру дорівнює сумі електрорушійних сил, які діють в контурі. Математичний запис цього правила такий:

(3.49)

Д ля використання правил Кірхгофа необхідно використовувати, як і раніше, правила знаків. Розглянемо застосування правил Кірхгофа на прикладі, зображеному на рис.3.3.

По – перше, знайдемо вузли в схемі: це точки F та С. Оберемо довільно напрями сил струмів І₁, І₂, І₃, наприклад, так, як вказано на рисунку. Застосуємо перше правило Кірхгофа для одного з вузлів, наприклад, С:

І₁ + І₂ - І₃ = 0 (3.50)

Можна перевірити, що для другого вузла рівняння буде таким самим. Для застосування другого правила Кірхгофа треба взяти два контури з трьох – нехай це будуть FCBAF та FDECF. Будемо обходити ці контури проти руху годинникової стрілки. Дістанемо тоді відповідно:

І₂ (R₂ +r₂) – І₁ (R₁ +r₁) = -ε₂ – ε ₁, (3.51)

- І₃ (R₃ +r₃) – І₂ (R₂ +r₂) = ε ₃ + ε ₂ (3.52)

Сила струму вважається позитивною, якщо напрям обходу контуру збігається з напрямом струму, і негативною, якщо ці напрями протилежні. Знак ЕРС обирається позитивним, якщо при обході контуру спочатку зустрічається негативний полюс джерела струму, а далі позитивний, у випадку, коли спочатку зустрічається позитивний полюс джерела струму, а потім негативний, ЕРС вважається негативною. Далі розв’язується система рівнянь (3.50) – (3.52) для знаходження сил струмів при умові, що задаються значення ЕРС і усіх опорів. Якщо значення сили струму виявиться негативним, то це означає, що струм насправді тече в протилежному до обраного напрямку.