4 Теорема єдності зображення

Надалі показується, що зміст введення зображень виду (3.1) полягає в тім, що з їхньою допомогою вдається спростити розвязання багатьох задач. Зокрема, наприклад, звести розвязання системи диференціальних рівнянь до проведення найпростіших алгебраїчних операцій при визначенні зображень шуканих розвязків. Знаючи ж зображення шуканого розвязку, можна знайти оригінал за заздалегідь заготовленими таблицями «оригінал-зображення» або за допомогою розглянутих у даній розробці методів. Але при цьому виникають слідуючи запитання.

Нехай задано деяку функцію .

а) чи існує функція-оригінал , для якої є зображенням?

б) якщо існує, то чи єдина функція-оригінал?

На обидва ці питання при зазначених обмеженнях відносно і дається позитивна відповідь.

Зокрема єдність зображення стверджується наступною теоремою:

Теорема. Якщо дві неперервні функції і мають одне і теж - зображення , то ці функції тотожно рівні (  ).

Ця теорема в операційному численні має фундаментальне значення. Дійсно, якщо при розвязанні практичної задачі якимось чином визначається зображення шуканої функції , а потім за відомим зображенням знаходиться початкова функція-оригінал , то сформульована теорема стверджує, що знайдена функція є розвязком поставленої задачі і притому єдиним, тобто інших розвязків не існує.

5 Приклади безпосереднього визначення зображень

Приклад 1. Знайти зображення за Лапласом одиничної функції Хевісайда:



1

0 0 

Рисунок 5.1 Рисунок 5.2

Розвязання

Користуючись означенням зображення (3.1), знаходиться при , тобто для правої напівплощини

(5.1)

Відповідь: ( ).

Приклад 2. Знайти зображення функції:

де а – комплексне число.

Розвязання

якщо або , тобто правіше від прямої :

0

Рисунок 5.3

Відповідь:

(5.2)

Зауваження: Надалі передбачається, що всі функції, які розглядають постачені множником , хоча сам цей множник опускається. Так, наприклад, під записами , і т.п. маються на увазі записи: ,

Приклад 3. Знайти

Розвязання

Отже, .

Відповідь:

(5.3)

Приклад 4. (самостійно). Знайти зображення за Лапласом функції .

Відповідь:

(5.4)

6 Основні теореми операційного числення

Відшукання зображень оригіналів безпосередньо за інтегралом Лапласа найчастіше громіздке. Викладені нижче теореми істотно полегшують відшукання зображень. Вони дозволяють також розвязувати зворотну задачу – відшукання оригіналу за відомим зображенням.