- •1 Деякі питання теорії комплексної змінної
- •1.1 Комплексне число та дії над ним
- •1.2 Геометрична інтерпретація комплексних чисел
- •1.3 Піднесення в ступінь і добування кореня з комплексного числа
- •1.4 Межа послідовності комплексних чисел
- •1.5 Поняття функції комплексної змінної. Безперервність
- •1.6 Диференціювання функції комплексної змінної
- •1.7 Інтеграл по комплексній змінній
- •2Операційне числення
- •3 Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення
- •4 Теорема єдності зображення
- •5 Приклади безпосереднього визначення зображень
- •6 Основні теореми операційного числення
- •6.1 Теорема подібності
- •6.2 Властивість лінійності зображення
- •6.3 Теорема загоювання
- •6.4 Теорема зсуву
- •6.5 Диференціювання зображення
- •6.6 Інтегрування зображення
- •6.7 Теорема множення зображень (теорема про згортку)
- •6.8 Диференціювання оригіналів (зображення похідних оригіналів)
- •6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів)
- •6.10 Перша теорема розвинення
- •6.11 Друга теорема розвинення
- •7 Таблиця основних відповідностей
- •8 Розвязання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом
- •9 Розвязання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом
- •Література
2Операційне числення
Операційне (символічне) числення широко застосовується на практиці при розвязанні різних задач науки і техніки. Особливо широке застосування воно має при дослідженні перехідних процесів у лінійних фізичних системах електротехніки, автоматики, радіотехніки і телемеханіки.
Сучасний математичний апарат операційного числення дозволяє розвязувати задачі, математичними моделями яких є системи лінійних диференціальних рівнянь (звичайних і з частинними похідними), різницеві і диференційно-різницеві рівняння та деякі типи інтегральних рівнянь. Велика універсальність операційного числення при розвязанні задач пояснюється можливістю отримати їх розвязки найбільш раціональним шляхом.
3 Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення
Операційне числення засноване на так званому перетворенні Лапласа (операторові спеціального виду)
, (3.1)
яке є невласним інтегралом першого роду.
Тут , взагалі кажучи, комплексна функція-оригінал дійсного аргументу , що найчастіше інтерпретується як час, а тому . Функція комплексного аргументу , обумовлена інтегралом Лапласа (3.1), називається зображенням за Лапласом функції-оригіналу .
Той факт, що функція є зображенням функції-оригіналу символічно записується так:
або .
Функцією-оригіналом називається функція , яка задовольнює наступні умови:
а) інтегрована на будь-якому кінцевому інтервалі осі ;
б) для всіх відємних : ;
в) зростає не швидше показникової (експоненціальної) функції, тобто існують такі дійсні сталі і , що
Умова а) означає, що функція – оригінал на будь-якому кінцевому відрізку додатної півосі задовольняє умови Діріхле, тобто, по-перше, обмежена, по-друге, або безперервна, або має лише кінцеве число точок розриву першого роду, і, по-третє, має кінцеве число екстремумів. При цьому за значення оригіналу у всякій його точці розриву першого роду приймається напівсума його граничних значень ліворуч і праворуч від цієї точки:
Так, зокрема, у силу умови б) за значення оригіналу в точці береться права границя:
.
Умова б) виправдана тим, що для фізики і техніки зовсім байдуже як поводяться об'єкти, що розглядаються до деякого початкового моменту часу, прийнятого за момент
Умова в) накладає обмеження на характер росту оригіналу , тобто, вимагає щоб при зростала за абсолютною величиною не швидше показової експоненціальної функції, тому число називається показником росту оригіналу .
Більшість функцій, що зустрічається на практиці, задовольняє умові в). Як приклад функцій, для яких умова в) не виконується, можна навести функцію .
Далі показується, що обмеження в) накладається на оригінал для забезпечення збіжності інтегралу Лапласа (3.1).
Справді, якщо оригінал задовольнює умову в) і , то інтеграли у правій частині рівності
збігаються абсолютно.
Спочатку оцінюється перший з цих інтегралів.
Аналогічно оцінюється і другий інтеграл.
Таким чином, для будь-якої функції-оригіналу зображення визначене в напівплощині і є в цій напівплощині аналітичною функцією.