Методические рекомендации к решению задач о максимальном потоке ( 228–257 )

Для решения задачи необходимо рассмотреть алгоритм построения максимального потока:

1. построить некоторый начальный поток Х⁰ ={х⁰_ij};

2. организовать процедуру составления подмножества А вершин, достижимых из истока I по ненасыщенным ребрам. Если в этом процессе сток S не попадет в подмножество А, то построенный поток максимальный и задача решена. Если же S попал в А, то перейти к п.3 алгоритма;

3. выделить путь из I в S, состоящий из ненасыщенных ребер, и увеличить поток х_ij по каждому ребру этого пути на Δ = min(r_ij - х_ij), где минимум берется по ребрам (i, j) упомянутого пути. Тем самым будет построен новый поток Х¹ ={х¹_ij}. После этого надо возвратиться к п.2 алгоритма.

Применение алгоритма рассмотрим на примере.

Пример. На сети, изображенной на рисунке 4, сформировать поток максимальной мощности, направленный из истока I в сток S, при условии, что пропускные способности ребер в обоих направлениях одинаковы. Выписать ребра, образующие на сети разрез минимальной пропускной способности.

Рисунок 4 - Сеть

Решение. В соответствии с п.1 алгоритма на сети необходимо сформировать начальный поток Х⁰. Сделаем это, следующим образом. По пути 1–3–4–6 пропустим 1 ед., по пути 1–2–3–4–6 — 1 ед., по пути 1–2–5–6 — 3 ед. В результате потоки х_ij по ребрам сети будут равны: х₁₂ =4, х₁₃ =1, х₂₃ =1, х₂₅ = 3, х₃₄ = 2, х₄₆ = 2, х₅₆ = 3; потоки по остальным ребрам сети равны нулю. Совокупность перечисленных потоков по ребрам и составит поток Х⁰ по сети. Видно, что условия (2) и (3), налагаемые на потоки по ребрам сети выполняются. Матрица пропускных способностей ребер данной сети приведена в таблице 15, а матрица построенного потока – в таблице 16.

Таблица 15 – Матрица пропускных способностей ребер

j i	1	2	3	4	5	6
1	0	6	1	0	0	0
2	6	0	2	0	3	0
3	1	2	0	3	0	0
4	0	0	3	0	1	2
5	0	3	0	1	0	5
6	0	0	0	2	5	0

Таблица 16 – Матрица построенного потока

j i	1	2	3	4	5	6
1	0	4	1	0	0	0
2	-4	0	1	0	3	0
3	-1	-1	0	2	0	0
4	0	0	-2	0	0	2
5	0	-3	0	0	0	3
6	0	0	0	-2	-3	0

Приступая к выполнению п.2 алгоритма, составим матрицу R– Х⁰ (таблица 17), элементы r_ij – х_ij которой позволяют судить о ненасыщенности ребер сети. Насыщенным ребрам будут соответствовать нулевые элементы, а ненасыщенным – ненулевые. Так, ребро (1, 2) ненасыщенное, поэтому элемент r₁₂ - х⁰₁₂ = 6-4=2≠0, а вот ребро (2,5) насыщенное, поэтому r₂₅ - х⁰₂₅ = 3 – 3 = 0.

Таблица 17 – Матрица R– Х⁰

j i	1	2	3	4	5	6
1	0	2	0	0	0	0
2	10	0	1	0	0	0
3	2	3	0	1	0	0
4	0	0	5	0	1	0
5	0	6	0	1	0	2
6	0	0	0	4	8	0

Зная матрицу R– Х⁰, можно сформировать подмножество А вершин, в которые можно попасть из истока I, двигаясь только по насыщенным путям (т.е. выполнить п.2 алгоритма), а также выделить (если Х⁰ немаксимален) эти пути и с их помощью увеличить мощность потока (т.е. выполнить п.3 алгоритма).

Вершины подмножества А выделяют постепенно, начиная с истока I. С этой целью просматривают первую строку матрицы R– Х⁰ (строку I) и выписывают номера i₁, i₂, ..., i_k вершин, соответствующих ненулевым элементам строки. Это и будут вершины, в которые можно попасть из истока I , перемещаясь по ненасыщенным ребрам. Будем записывать выявленные таким образом вершины в виде I||i₁,i₂,...,i_k и называть подобную запись списком вершины I. Далее рассматривают каждую из вершин i_t полученного списка и составляют для нее аналогичным образом свой список. При этом вершины, встречавшиеся в прежних списках, повторно не выписываются. Если в этом процессе сток S не встретится, - поток максимален и задача решена, если же при составлении очередного списка в нем появится сток S, то поток немаксимален и мощность его можно увеличить.

В примере в данном случае I = 1, S = 6. построим подмножество А, последовательно составляя списки вершин, начиная с вершины 1. Судя по первой строке матрицы R– Х⁰ (таблица 17) в список вершины 1 войдет одна вершина 2, поскольку только элемент второго столбца этой строки отличен от нуля. Итак: 1 || 2. Теперь переходим к списку вершины 2 как вершины, вошедшей в список вершины 1. во второй строке матрицы два элемента отличны от нуля: 10 и 1. Но 10 соответствует вершине 1, которая уже значится в подмножестве А, поэтому повторно ее в списки не включаем. Элемент 1 соответствует вершине 3, и она встречается впервые, а поэтому включаем ее в список вершины 2. Таким .образом приходим к следующему списку: 2 || 3. Таким же способом получаем и остальные списки. В результате получаем набор:

1 || 2, 2 || 3, 3 || 4, 4 || 5, 5 || 6 (1)

Анализируя списки (1) видно, что сток 6 попал в подмножество А, поскольку оказался в списке одной из вершин подмножества А (в данном случае вершины 5). Значит, существует путь из истока I в сток S (у нас это из 1 в 6), состоящий из ненасыщенных ребер.

Построение ненасыщенного пути из I в S начинают с последнего ребра этого пути. Им будет ребро (i_n-1, S), где i_n-1 – вершина, в список которой попал сток S. Далее выписывают ребро (i_n-2, i_n-1), где i_n-2 – вершина, в список которой попала вершина i_n-1 и так до тех пор, пока на очередном шаге не встретится ребро (I, i₁), которым и начинается искомый ненасыщенный путь. Т. обр., ненасыщенный путь из I в S состоит из ребер (I, i₁), (i₁, i₂), …, (i_n-2, i_n-1), (i_n-1, S).

Просматривая списки (1) в примере от конца к началу, замечаем, что ребро (i_n-1, S) в данном случае является (5,6), ребром (i_n-2, i_n-1) – ребро (4,5), …, и наконец, ребро (I, i₁) – ребро (1,2). Таким образом, путь из истока 1 в сток 6 по ненасыщенным ребрам пройдет через вершины 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

После выделения ненасыщенного пути из истока I в сток S остается с помощью матрицы R– Х⁰ определить величину Δ = min(r_ij –х_ij), на которую нужно увеличить поток по каждому ребру (i,j) выделенного пути, чтобы получить новый поток Х¹ большей мощности (на Δ единиц).

В примере, как видно из таблицы 15, по ребру (1, 2) дополнительно можно пропустить 2 ед., по ребрам (2, 3), (3,4), (4,5) и (5,6) – соответственно 1, 1, 1 и 2 ед., так что увеличить поток по всему пути 1–2–3–4–5–6, составленному из указанных ненасыщенных ребер, можно на величину

Для построения матрицы нового потока Х¹ к соответствующим элементам х⁰_ij матрицы Х⁰ прибавляется найденное значение Δ, после чего возвращаемся к п. 2 алгоритма, и так до получения максимального потока.

В примере на величину Δ = 1 возрастут элементы х⁰₁₂, х⁰₂₃, х⁰₃₄, х⁰₄₅ и х⁰₅₆ матрицы Х⁰ (таблица 16). С учетом соглашения: в теории потоков предполагается, что если из вершины i в вершину j направляется поток величиной х_ij, то величина потока j из в i равна - х_ij, т.е.

х_ji = – х_ij.

Приходим к матрице нового потока Х¹ (таблица 18).

Построенный поток Х¹ вновь надо исследовать на оптимальность , т.е.вернуться к операциям п. 2 алгоритма. С этой целью, как и при исследовании потока Х⁰, составляем матрицу R– Х¹ (таблица 19), а по ней – списки вершин, достижимых из истока I по ненасыщенным путям. В результате получаем списки:

1 || 3, 3 || . (2)

Таблица 18 – Матрица нового потока Х¹

j i	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	0	0	0
2	11	0	0	0	0	0
3	2	4	0	0	0	0
4	0	0	6	0	0	0
5	0	6	0	2	0	1
6	0	0	0	4	9	0

Таблица 19 – Матрица R– Х¹

j i	1	2	3	4	5	6
1	0	5	1	0	0	0
2	-5	0	2	0	3	0
3	-1	-2	0	3	0	0
4	0	0	-3	0	1	2
5	0	-3	0	-1	0	4
6	0	0	0	-2	-4	0

Как видно из списков (2), сток 6 не попал в список вершин, достижимых из из I по ненасыщенным ребрам. Значит, поток Х¹ максимален. Остается нанести его на сеть с указанием направления потоков по отдельным ребрам (рисунок 5).

Рисунок 5 – Решение задачи о максимальном потоке

Используя списки (2), выделим подмножество А и В, на которые оказалось разбито множество всех вершин: А = {1, 3}, B = {2, 4, 5, 6}. А теперь выпишем ребра, образующие разрез А/В минимальной пропускной способности: (1, 2), (3, 2), (3, 4).