4.1. Краткие теоретические сведения

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в каждом узле электрической цепи: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Для произвольного узла, содержащего источник тока J и связывающего k ветвей, уравнение первого закона Кирхгофа имеет вид (за положительное направление принимается направление тока к узлу):

. (23)

В торой закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в контурах электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма падений напряжения на ветвях контура равна нулю.

Составим уравнения состояния для схемы рис. 9, полагая, что в каждую ветвь дополнительно введен источник напряжения с ЭДС.

Уравнения согласно первому закону Кирхгофа:

. (24)

Сумма этих уравнений приводит к тождеству: 0 = 0. Это обусловлено тем, что ток каждой ветви входит только в два уравнении (ветвь соединяет два узла), причем с противоположными знаками. Условие баланса требует, чтобы сумма токов источников энергии была равна сумме токов нагрузок. То есть, сумма задающих токов (источников напряжения и нагрузок) равна нулю:

. (25)

Таким образом, уравнения (24) не являются взаимно независимыми: любое из них может быть получено в результате суммирования остальных.

Для электрической цепи, содержащей n узлов, можно составить (n-1) взаимно независимых уравнений вида (23), то есть один из узлов исключить из рассмотрения. Этот узел называется узлом баланса или балансирующим узлом.

Выберем в схеме рис. 6 узел d в качестве балансирующего. Это соответствует удалению из системы (24) четвертого уравнения. Тогда система перепишется в виде:

. (26)

Число неизвестных токов в уравнениях (26) равно числу ветвей (шести), то есть на два больше, чем число уравнений. Для получения двух недостающих воспользуемся вторым законом Кирхгофа (если направление обхода совпадает с направлением тока, то напряжение берется со знаком "+"):

Используя второй закон Кирхгофа и уравнение закона Ома для участка цепи с ЭДС, запишем два недостающих уравнения:

(27)

Объединяя системы (26) и (27), получаем систему из шести независимых уравнений с шестью неизвестными токами (следовательно, система будет иметь единственное решение).

4.2. Исходные данные и порядок работы

И сходными данными для выполнения лабораторной работы являются схема замещения (рис. 10) и ее параметры (табл. 5 – 7) согласно варианту.

Таблица 5

Задающие токи узлов, А

Номер варианта	Обозначение узла
	a	b	c	d	e	f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	? 18 11 – 7 7 8 ? 9 – 22 – 2 5 3 ? – 4 10 40 5 ? 27	– 4 ? – 6 12 – 3 14 5 ? 10 13 25 6 11 ? 7 18 – 25 24 11 ?	16 44 ? 32 14 – 20 13 14 ? 15 – 35 12 22 12 ? – 10 2 – 14 16 26	7 – 23 1 ? 20 – 1 45 – 27 14 ? 45 24 – 33 – 18 11 ? 7 – 18 – 24 25	– 12 15 – 22 – 10 ? 12 –23 – 25 16 17 ? – 48 44 24 – 18 6 ? 15 17 – 24	25 8 37 25 – 11 ? – 16 – 15 18 19 –10 ? – 7 30 – – 23 – 30 ? –32 – 23

Знак "?" в ячейках таблицы говорит о том, что недостающее значение тока студент должен найти самостоятельно согласно условию баланса токов.

Таблица 6

Сопротивления ветвей, Ом

Номер варианта	Номер ветви
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	–	20	18	16	14	12	10	8	6	4
2	5	–	7	9	11	13	15	17	19	21
3	12	8	–	7	1	5	16	20	24	18
4	4	20	15	–	16	22	27	14	8	6
5	15	20	10	25	–	13	10	4	16	11
6	14	12	7	5	32	–	16	14	13	12
7	14	10	9	27	18	24	–	20	10	5
8	28	2	23	15	14	10	25	–	13	18
9	11	12	32	12	4	14	9	6	–	23
10	17	10	9	27	18	24	34	6	23	–
11	–	–	3	6	9	15	24	9	8	7
12	28	22	–	–	27	9	17	4	16	8
13	11	22	7	15	–	16	–	10	8	6
14	5	10	15	20	25	–	20	15	–	10
15	12	14	10	18	22	12	8	–	4	–
16	17	14	–	10	–	7	5	15	13	11
17	13	8	7	–	–	4	10	28	14	12
18	3	17	–	20	18	24	–	16	24	5
19	10	12	14	–	16	18	–	20	8	6
20	–	13	14	15	16	17	18	19	20	–

Прочерк в ячейке таблицы говорит о том, что ветвь под указанным номером в схеме замещения отсутствует.

Таблица 7

ЭДС ветвей, В

Номер варианта	Номер ветви
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	–	100	50	60	70	122	85	68	45	16
2	65	–	42	52	62	72	82	92	102	112
3	72	48	–	45	56	67	78	89	100	25
4	44	20	35	–	55	64	88	20	50	65
5	56	58	40	80	–	69	40	36	46	75
6	100	70	54	65	62	–	66	47	75	63
7	90	106	86	70	34	56	–	120	110	85
8	65	24	78	102	76	86	65	–	73	48
9	32	34	58	74	98	95	67	100	–	63
10	40	36	47	65	59	100	101	110	123	–
11	–	–	86	68	95	90	99	74	57	84
12	72	70	–	–	68	100	75	85	80	68
13	44	50	52	58	–	86	–	110	80	60
14	30	40	50	60	95	–	60	85	–	140
15	77	66	55	44	33	22	88	–	40	–
16	107	45	–	110	–	84	25	82	72	62
17	92	36	70	–	–	73	88	50	54	64
18	37	47	–	57	67	77	–	87	97	107
19	38	42	140	–	112	80	–	60	70	72
20	–	89	71	80	102	100	40	55	60	–

Согласно исходным данным следует составить соответствующую схему замещения электрической системы и рассчитать значения токов каждой ветви с использованием законов Кирхгофа и закона Ома для цепи, содержащей ЭДС. Расчет целесообразно выполнять с применением пакета математического направления MathCAD, в чем может помочь литература [3].

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

цель работы, исходные данные;

схему замещения электрической системы;

системы уравнений согласно первому и второму закону Кирхгофа;

распечатку выполненных расчетов в программе MathCAD;

вывод.

Лабораторная работа 5

формирование матричных уравнений состояния электрической системы и их решение

Цель работы: отобразить схему замещения электрической системы в виде графа, составить матричные уравнения состояния электрической системы и на их основании выполнить расчет токов каждой ветви схемы.

К онфигурацию схемы замещения электрической системы можно отобразить в виде графа. Граф представляет собой множество вершин (узлов) и ребер (ветвей), соединяющих некоторые (а может быть и все) пары вершин. Сово­купность ребер, соединяющих две произвольные вершины, образует подграф, определяемый как путь графа. Если в графе можно выбрать путь, который соединяет его любые две вершины, то этот граф является связанным, если нельзя,— то несвязанным. Если ребра графа имеют фиксированные направления, то этот граф называется направленным. Схема замещения электрической системы обычно является связан­ным графом (рис. 11). Она состоит из ветвей (ребер), соединенных в узлы (вершины). Ветви образуют цепочки (пути графа), которые могут быть замкнутыми. Все величины, характеризующие состояние ветвей (токи, ЭДС, падения напряжения), имеют определенное направление (без чего не может быть рассчитан режим данной схемы). В связи с этим целесообразно каждой ветви схемы придать определенное (произвольно выбранное) направление.

При изображении схем в виде графов нет надобности в специаль­ных обозначениях сопротивлений и ЭДС. Ветви графически изобра­жаются (прямой или кривой) с указанием их направлений (см. рис. 11). Таким образом, направление ветви от начальною узла к конечному одновременно является положительным направлением для всех участвующих величин – ЭДС, тока и падения напряжения. Любая из этих величин может получиться положительной или отрицательной по отношению к принятому направлению.

Для направленного графа могут быть определены:

1) матрица соединений ветвей в узлах;

2) матрица соединений ветвей в независимые контуры.

Составление матрицы соединений ветвей в узлах

Прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа n (узлов схемы), а число столбцов – числу ребер m (ветвей схемы):

.

При этом номера строк i соответствуют номерам вершин, а номера столбцов j – номерам ребер. Элементы матрицы M_Σ могут принимать одно из трех значений:

m_ij = + 1, если узел i является начальной вершиной ветви j;

m_ij = – 1, если узел i является конечной вершиной ветви j;

m_ij = 0, если узел i не является вершиной ветви j.

Каждая строка матрицы M_Σ показывает, какими вершинами соответствующие ветви присоединяются к данному узлу схемы; каждый столбец – какие узлы являются начальной и конечной вершинами данной ветви. Очевидно, что в каждом столбце матрицы может быть только одна положительная и только одна отрицательная единицы, остальными элементами являются нули. Для практических расчетов

(28)

Выбрав узел е в качестве балансирующего, получим матрицу М из M_Σ путем исключения последней строки:

. (29)

По этой матрице можно восстановить исключенную строку (должна быть одна +1 и одна –1), то есть восстановлена вся схема.

Составление матрицы соединений ветвей в независимые контуры

Прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров k, а число столбцов – число ребер m (ветвей схемы):

.

При этом номера строк i соответствуют номерам независимых контуров, а номера столбцов j – номерам ветвей. Элементы матрицы N определяются следующим образом:

n_ij = + 1, если ветвь j входит в контур i и их направления совпадают;

n_ij = – 1, если ветвь j входит в контур i и их направления противоположны;

n_ij = 0, если ветвь j не входит в контур i.

Каждая строка матрицы показывает, какие ветви входят в состав соответствующего независимого контура и какое направление они имеют относительно направления контура. Каждый столбец матрицы показывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлениями этих контуров. Напоминание: число независимых контуров – на одно меньше (как минимум) общего количества контуров.

Для графа на рис. 10 матрица N имеет вид:

(30)

Матрицы M и N дают возможность записать уравнения состояния электрической цепи в матричной форме.

Обобщенное уравнение состояния электрической цепи, вид которого не зависит от ее конфигурации и числа элементов:

, (31)

где I – токи в ветвях (неизвестные);

J – задающие токи в узлах (токи нагрузки);

Z_в – сопротивления ветвей (диагональная матрица);

Е_k – алгебраическая сумма ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур.

Эти уравнения можно объединить в одно, если матрицы М и NZ_B рассматривать как блоки одной объединенной матрицы пара­метров схемы замещения системы:

, (32)

а матрицы J и Е_k рассматривать как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима:

. (33)

При этом обобщенное уравнение состояния принимает вид

AI = F. (34)

Здесь матрица А является квадратной, поэтому полученное уравнение состояния можно ре­шить относительно матрицы токов ветвей.

Найдем обобщенное уравнение для схемы на рис. 8 и графа на рис. 10. Определим матрицы NZ_в и Е_k:

; (35)

. (36)

Обобщенное уравнение состояния в развернутом виде запишется:

. (37)

В качестве исходных следует взять данные из предыдущей лабораторной работы. Для выполнения работы необходимо составить обобщенное уравнение состояния электрической системы и найти его решение с применением пакета MathCAD, сравнить полученные значения с результатами расчетов, произведенных в предыдущей лабораторной работе.

контрольные вопросы

1. Для каких целей используют схемы замещения?

2. Какие физические явления отражаются наличием в схеме замещения воздушных и кабельных линий активной проводимости?

3. Какое применение в электрических сетях находят стальные провода?

4. Каков физический смысл индуктивного сопротивления воздушных и кабельных линий?

5. На что влияет способ прокладки линий электропередачи?

6. Как зависят сопротивления и проводимости трансформаторов от их номинальной мощности?

7. Что относится к паспортным (каталожным) данным двухобмоточных трансформаторов?

8. Как различить в обозначениях двух- и трехобмоточные трансформаторы?

9. Какими схемами замещения моделируется двухобмоточный трансформатор? Как в них учитывается магнитная связь обмоток?

10. В какой форме может быть записано комплексное число?

11. О чем говорит умножение числа на мнимую единицу j ?

12. Какой узел схемы замещения электрической системы называется балансирующим? В чем его назначение?

13. Могут ли задающие токи принимать отрицательные значения?

14. Что означает связанность графа?

15. Может ли граф, отражающий схему замещения электрической системы, быть ненаправленным?

При самостоятельной подготовке к ответам на контрольные вопросы рекомендуется использовать источники [1, 2, 4 – 6] и, при необходимости, другую техническую литературу.

Библиографический список

1. Герасименко А. А., Федин В. Т. Передача и распределение электрической энергии / А. А. Герасименко, В.Т.Федин. Ростов н/Д: Феникс, 2008. 715 с.

2. Лыкин А. В. Математическое моделирование электроэнергетических систем и их элементов / А. В. Лыкин. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 120 с.

3. Серебряков А. С., Шумейко В. В. MathCAD и решение задач электротехники / А. С. Серебряков, В. В. Шумейко. М: Маршрут, 2005.

4. Зажирко В. Н., Петров С. И., Тэттер А. Ю. / Под ред. В. Н. Зажирко. Режимы постоянного и синусоидального токов в линейных электрических цепях: Учебное пособие / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 1999. 108 с.

5. Электрические системы. Электрические сети: Учеб. для электроэнерг. спец. вузов / Под ред. В. А. Веникова. М.: Высшая школа, 1998. 511 с.

6. Ополева Г. Н. Схемы и подстанции электроснабжения / Г. Н. Ополева. М.: ИД «Форум», 2008. 524 с.

Учебное издание

Мальцева Алла Викторовна

Методические указания

к выполнению лабораторных работ по дисциплине "математическое моделирование систем электроснабжения"

________________

Редактор Н. А. Майорова

Корректор Д. А. Волнина

***

Подписано в печать . .2011. Формат 60 × 84 ¹/₁₆.

Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. .

Тираж 100 экз. Заказ .

**

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

*