Формирование матричных уравнений состояния электрической цепи

Конфигурацию схемы замещения электрической системы можно отобразить в виде графа. Граф представляет собой множество вершин (узлов) и ребер (ветвей), соединяющих некоторые (а может быть и все) пары вершин. Любая часть графа называется подграфом. Сово­купность ребер, соединяющих две произвольные вершины, образует подграф, определяемый как путь графа. Если начальная и конечная вершины пути графа совпадают, то этот путь графа является замкну­тым и образует контур.

Если в графе можно выбрать путь, который соединяет его любые две вершины, то этот граф является связанным, если нельзя,— то несвязанным. Если ребра графа имеют фиксированные направления, то этот граф называется направленным. Каждое ребро направленного графа имеет начальную и конечную вершины; его направление при­нимается от первой вершины ко второй.

Схема замещения электрической системы обычно является связан­ным графом. Она состоит из ветвей (ребер), соединенных в узлы (вершины). Ветви образуют цепочки (пути графа), которые могут быть замкнутыми. Все величины, характеризующие состояние ветвей (токи, ЭДС, падения напряжения), имеют определенное направление (без чего не может быть рассчитан режим данной схемы). В связи с этим целесообразно каждой ветви схемы придать определенное (произвольно выбранное) направление. Таким образом, схема заме­щения системы обычно является связанным направленным графом, ребрами которого служат ветви, а вершинами —узлы.

Н а рис. 3 в виде связанного направленного графа показана схема (см. рис. 2), на которой выбраны направления ветвей, а также указаны номера ветвей и узлов.

При изображении схем в виде графов нет надобности в специаль­ных обозначениях сопротивлений и ЭДС. Ветви графически изобра­жаются (прямой или кривой) с указанием их направлений (рис. 3). Таким образом, направление ветви от начальною узла к конечному одновременно является положительным направлением для всех участвующих величин – ЭДС, тока и падения напряжения. Любая из этих величин может получиться положительной или отрицательной по отношению к принятому направлению.

Для направленного графа могут быть определены:

1) матрица соединений ветвей в узлах;

2) матрица соединений ветвей в независимые контуры.

Составление матрицы соединений ветвей в узлах

Прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа n (узлов схемы), а число столбцов – числу ребер m (ветвей схемы):

.

При этом номера строк i соответствуют номерам вершин, а номера столбцов j – номерам ребер. Элементы матрицы M_Σ могут принимать одно из трех значений:

m_ij = + 1, если узел i является начальной вершиной ветви j;

m_ij = – 1, если узел i является конечной вершиной ветви j;

m_ij = 0, если узел i не является вершиной ветви j.

Каждая строка матрицы M_Σ показывает, какими вершинами соответствующие ветви присоединяются к данному узлу схемы; каждый столбец – какие узлы являются начальной и конечной вершинами данной ветви. Очевидно, что в каждом столбце матрицы может быть только одна положительная и только одна отрицательная единицы, остальными элементами являются нули. Для практических расчетов

Выбрав узел е в качестве балансирующего, получим матрицу М из M_Σ путем исключения последней строки:

.

По этой матрице можно восстановить исключенную строку (должна быть одна +1 и одна –1), то есть восстановлена вся схема.

Составление матрицы соединений ветвей в независимые контуры

Прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров k, а число столбцов – число ребер m (ветвей схемы):

При этом номера строк i соответствуют номерам независимых контуров, а номера столбцов j – номерам ветвей. Элементы матрицы N определяются следующим образом:

n_ij = + 1, если ветвь j входит в контур i и их направления совпадают;

n_ij = – 1, если ветвь j входит в контур i и их направления противоположны;

n_ij = 0, если ветвь j не входит в контур i.

Каждая строка матрицы показывает, какие ветви входят в состав соответствующего независимого контура и какое направление они имеют относительно направления контура. Каждый столбец матрицы показывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлениями этих контуров. Напоминание: число независимых контуров – на одно меньше (как минимум) общего количества контуров.

Для графа на рис. 3 матрица N имеет вид:

Матрицы M и N дают возможность записать уравнения состояния электрической цепи в матричной форме.

Обобщенное уравнение состояния электрической цепи, вид которого не зависит от ее конфигурации и числа элементов:

,

где I – токи в ветвях (неизвестные);

J – задающие токи в узлах (токи нагрузки);

Z_в – сопротивления ветвей (диагональная матрица);

Е_k – алгебраическая сумма ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур.

Эти уравнения можно объединить в одно, если матрицы М и NZ_B рассматривать как блоки одной объединенной матрицы пара­метров схемы замещения системы:

,

а матрицы J и Ё_к рассматривать как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима:

.

При этом обобщенное уравнение состояния принимает вид

AI = F.

Здесь матрица А является квадратной, поэтому полученное уравнение состояния можно ре­шить относительно матрицы токов ветвей.

Найдем обобщенное уравнение для схемы на рис. 2 и графа на рис. 3. Определим матрицы NZ_в и Е_k:

;

Обобщенное уравнение состояния в развернутом виде запишется:

.

Для формирования обобщенного уравнения состояния необходимо предварительно определить матрицы соединений М и N, которые в аналитической форме отображают конфигурацию схемы замещения электрической системы. Матрицу М составить несложно. Другую – N – может быть затруднительно, так как требуется выделить независимые контуры, число которых может быть значительным. Кроме того, матрица N в общем случае не содержит полной информации о конфигурации рассматриваемой системы, так как разомкнутые части схемы в ней не отражаются. Например, ветвь 6 на рис. 3 представлена в матри­це N нулевыми элементами и присоединение ее к любому дру­гому узлу не изменяет матрицу N.

Из сопоставления способов формирования уравнений состояния электрической цепи непосредственно по ее схеме и в обобщенной форме с использованием матриц М и N следует, что по трудоемкости оба способа примерно равноценны, причем основная трудность за­ключается в составлении уравнений для независимых контуров в первом случае и матрицы N — во втором. Очевидно, что при пер­вом подходе эта трудность принципиально неустранима, тогда как при использовании обобщенных уравнений состояния ее можно из­бежать, если формализовать процесс составления матрицы N. Воз­можность такой формализации обусловлена тем, что матрица М содержит в себе исчерпывающую информацию о конфигурации схемы, в том числе и необходимую для составления матрицы N. Для реали­зации этой возможности необходимо установить аналитическую за­висимость, связывающую матрицы М и N.

Численные методы линейной алгебры

Это: численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращения матриц, вычисления определителей и нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две группы:

– точные или прямые методы: алгоритмы, позволяющие получить решение системы за конечное число арифметических действий (правило Крамера нахождения решения с помощью определителей, метод Гаусса (метод исключений) и метод прогонки);

– приближенные методы (итерационные);

Правило Крамера в ЭВМ не применяется, так как требует значительно большего числа арифметических действий, чем метод Гаусса. Метод Гаусса используется в ЭВМ при решении систем до порядка 10 ³, а итерационные методы – до порядка 10 ⁶.

Метод Гаусса. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений 4-го порядка:

Система неоднородных уравнений (правая часть не равна 0) называется совместной, если существует хотя бы одно решение, и несовместной, если ни одного решения не существует. Признак совместности: система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы (коэффициентов) равен рангу расширенной матрицы (добавляется столбец правой части). Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений – бесконечное множество.

Иначе говоря, отличие определителя системы от нуля – необходимое и достаточное условие существования единственного решения системы.

В случае равенства нулю определителя система либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

Если определитель системы близок к нулю, то говорят, что система плохо обусловлена. В этом случае найти численное решение системы трудно, а точность его весьма сомнительна.

Предположим, что коэффициент а⁰₁₁ , называемый ведущим элементом первой строки, не равен 0. Разделив первое из уравнений системы на а⁰_11, получим новое уравнение (2):

И сключим неизвестную х₁ из каждого уравнения системы, начиная со второго, путем вычитания уравнения (2), умноженного на коэффициент при х₁ в соответствующем уравнении. Преобразованные уравнения имеют вид (3):

а¹₂₂х₂ + а¹₂₃х₃ + а¹₂₄х₄ = а¹₂₅,

а¹₃₂х₂ + а¹₃₃х₃ + а¹₃₄х₄ = а¹₃₅,

а¹₄₂х₂ + а¹₄₃х₃ + а¹₄₄х₄ = а¹₄₅.

Допустим, что ведущий элемент второй строки, т.е. коэффициент а¹₂₂, тоже отличен от 0. Тогда, разделив на него первое из уравнений в (3), получим уравнение (4): х₂ + а²₂₃х₃ + а²₂₄х₄ = а²₂₅. Исключив с помощью уравнения (4) неизвестную х₂ из двух последних уравнений в (3), и так далее, придем к решению х₄ = а⁴₄₅.

Итак, если ведущие элементы а⁰₁₁, а¹₂₂, а²₃₃, а³₄₄ отличны от нуля, то система (1) эквивалентна следующей системе с треугольной матрицей (5):

х₁ + а¹₁₂х₂ +а¹₁₃х₃+а¹₁₄х₄=а¹₁₅

х₂ +а²₂₃х₃+а²₂₄х₄=а²₂₅

х₃+а³₃₄х₄=а³₃₅

х₄ = а⁴₄₅.

Из этой системы неизвестные х находятся явно в обратном порядке.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду называется прямым ходом, а нахождение неизвестных по формулам – обратным ходом метода Гаусса.

Число арифметических действий, выполняемых при решении системы линейных алгебраических уравнений порядка n методом Гаусса = (2/3)* n³.

Рассмотренный выше простейший вариант метода Гаусса (схема единственного деления) имеет недостатки:

– если ведущий элемент какой-либо строки окажется равным нулю, то эта схема формально непригодна, хотя система может иметь единственное решение. Кроме того, если определитель системы не равен нулю, но в процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые достаточно малы по сравнению с другими элементами соответствующих строк, то погрешность округления будет оказывать значительное влияние на точность результата.

Метод Гаусса-Жордана

Наибольшая точность решения достигается тогда, когда ведущий элемент строки имеет наибольшее значение. Поэтому строку с нулевым или малым ведущим элементом на ту из стоящих под ней строк, в которой в том же столбце стоит элемент, имеющий наибольшее значение.

Отличие метода Гаусса-Жордана от метода Гаусса в том, что преобразованная матрица имеет диагональный вид и нет необходимости в обратном ходе.

Схема с выбором главного элемента.

Так же, как и в методе Гаусса-Жордана, добиваемся наибольшего значения ведущих элементов, но уже перестановкой не только уравнений, но и столбцов неизвестных со своими неизвестными.

При определителе системы не равном нулю всегда приводит к единственному решению и менее чувствительна к погрешностям округления.

Пусть дана система (1). Сначала добиваемся выполнения условий |a⁰₁₁|>=|a⁰_ij| путем перестановки в случае необходимости двух уравнений системы (1), а также двух столбцов неизвестных со своими коэффициентами, и соответствующей перенумерации коэффициентов и неизвестных. Найденный максимальный по модулю коэффициент называется первым главным элементом. Затем исключаем х₁ согласно предыдущей схеме. Далее с полученной системой уравнений поступаем аналогично исходной (выбираем максимальный по модулю второй главный элемент и т.д.). Обратный ход выполняется также аналогично. Перейдя к первоначальной нумерации уже найденных неизвестных, получим решение заданной системы уравнений.

Итерационные методы решения СЛАУ

Для решения СЛАУ итерационными методами система уравнений (1) преобразуется к виду:

х ₁ = (а_{1, n+1} – a₁₁ x₁ – a₁₂ x₂ –…– a_1n x_n) / a₁₁ + x₁,

х₂ = (а_{2, n+1} – a₂₁ x₁ – a₂₂ x₂ –…– a_2n x_n) / a₂₂ + x₂, (9)

…………………………………………………

х_n = (а_{n, n+1} – a_n1 x₁ – a_n2 x₂ –…– a_nn x_n) / a_nn + x_n,

Задав столбец начальных приближений х⁰₁, х⁰₂ , …, х⁰_n, подставим их в правые части системы (9) и вычислим новые приближения х¹₁, х¹₂ , …, х¹_n, которые опять подставим систему и т.д. Таким образом, организуется итерационный процесс, который является обобщением метода простых итераций на системы уравнений:

х ₁^(m+1) = ₁ ( х₁^(m), х₂^(m), … , х_n^(m) ),

х₂^(m+1) = ₂ ( х₁^(m), х₂^(m), … , х_n^(m) ), (10)

………………………………….

х_n^(m+1) = _n ( х₁^(m), х₂^(m), … , х_n^(m) ),

Метод Якоби использует произвольно выбранные начальные приближения для вычисления и т.д. до тех пор, пока не будет достигнута точность, либо станет очевидно, что процесс расходится.

Эффективнее использовать метод Гаусса-Зейделя – прием последовательной подстановки уже вычисленных "новых" значений.

х ₁^(m+1) = ₁ ( х₁^(m), х₂^(m), … , х_n^(m) ),

х₂^(m+1) = ₂ ( х₁^(m+1), х₂^(m), … , х_n^(m) ), (11)

………………………………….

х_n^(m+1) = _n ( х₁^(m+1), х₂^(m+1), … , х_n^(m) ).

Для сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами. Условие сходимости можно обеспечить преобразованием исходной матрицы путем перестановки уравнений и неизвестных.

, (8)

Эти методы можно применять и к решению систем нелинейных уравнений. Итерационный процесс заканчивается, когда выполняется условие | х_k^(m+1) – х_k^(m)| < , где  – заданная погрешность.

Применение ЭВМ для оптимального проектирования систем электроснабжения

(справочник по электроснабжению и электрооборудованию: В 2 т./ Под общ. ред. А. А. Федорова – М.: Энергоатомиздат, 1986, 568 с.)

Решение проектных и эксплуатационных задач промышленного электроснабжения связано с применением различных математических методов. На стадии проектирования инженер сталкивается с необходимостью решения задачи выбора схемы, конфигурации сети и ее элементов, а на стадии эксплуатации – повышения экономичности работы системы электроснабжения, т. е. оптимизации режима.

С точки зрения объема исходных данных для решения проектных и эксплуатационных задач современные системы электроснабжения можно отнести к классу больших систем с неполно заданной информацией. Поэтому в настоящее время разработаны и продолжают разрабатываться эффективные методы их расчета и оптимизации.

В задачах энергетики оптимизация — это стремление математически сформулировать наилучшие условия работы системы, пред­ставив их в виде целевой функции, и опреде­лить значения регулируемых параметров, со­ответствующих экстремальному значению целевой функции.

При оптимальном проектировании си­стем электроснабжения необходимо решить ряд задач. Основными из этих задач явля­ются:

1) выбор элементов систем электроснаб­жения (числа и мощности трансформаторов, сечений проводов, шин и жил кабелей и т. д.);

2) выбор основных параметров систем электроснабжения (электрических нагрузок, рационального напряжения);

3) определение оптимальной топологии электрической сети;

4) выбор режимов работы систем элек­троснабжения.

Цель оптимального проектирования си­стем электроснабжения может заключаться в снижении начальных капитальных или экс­плуатационных затрат, повышении надежно­сти проектируемой системы. Чаще всего это сокращение приведенных годовых затрат.

Если целевая функция задана алгорит­мически (конечным числом способов реали­зации решения), то оптимизацию сводят к простому перебору вариантов и выбору на­илучшего из них по известному критерию оптимальности. Такое решение возможно для задач с небольшим числом дискретных значений регулируемого параметра, напри­мер выбор рационального напряжения, сече­ния проводника. При большом числе возможных значений регулируемых параметров общее число вариантов оказывается значи­тельным, и даже с помощью ЭВМ решить задачу за приемлемый промежуток времени оказывается невозможным. В этом случае используют методы нахождения экстремума целевой функции F(x₁, х₂, ..., х_n) (методы оптимизации).

В простейшем случае дифференцируемости целевой функции и неравенства нулю вторых производных задача сводится к ре­шению п алгебраических уравнений

(7)

В классической математике разработаны методы решения и доказательства принци­пиальной разрешимости уравнений вида (7), что привело к созданию так назы­ваемых аналитических методов оптимиза­ции. Из аналитических методов оптимизации в практике проектирования систем электро­снабжения широко применяют метод неопре­деленных множителей Лагранжа, отличаю­щийся простотой и наглядностью.

Сущность метода заключается в следую­щем. Пусть необходимо оптимизировать вы­пуклую целевую функцию от п переменных

F(x₁, х₂, ..., х_n) (8)

Область допустимых решений опреде­ляется m уравнениями связи

ψ_j(x₁, х₂, ..., х_n) = 0, j = 1, 2, ..., т. (9)

Составляют вспомогательную функцию

(10)

где λ₁, λ₂, …, λ_m – неопределенные мно­жители Лагранжа. Необходимым условием существования экстремума функции (10) является равенство нулю ее частных про­изводных

(11)

Систему уравнений (11) преобра­зуют к виду

(12)

Решение п + т уравнений (12) относи­тельно п + т неизвестных дает искомые зна­чения переменных х,, х₂, ..., х_п.

Метод неопределенных множителей Лагранжа эффективен при небольшом числе переменных и ограничений; с увеличением же числа переменных и ограничений на них сложность решения уравнений (12) резко возрастает. Поэтому наряду с аналитически­ми методами большое развитие получили методы линейного, нелинейного и динамиче­ского программирования. Реальные задачи математического программирования доста­точно сложны и, как правило, не могут быть решены без использования ЭВМ.

Математически задачу линейного про­граммирования ставят следующим образом: ищут минимум линейной формы

(13)

при соблюдении ограничений

(14)

Неравенства (13) можно свести к стро­гим равенствам, добавив переменную x_n+1:

(15)

Тогда условие (14) сводится к (15) и ус­ловию неотрицательности переменной x_n+1. Поэтому при решении задачи линейного программирования определяют такие значе­ния п переменных х, которые бы обращали в минимум линейную форму (13) при усло­вии выполнения m равенств (15).

Применение методов решения задачи линейного программирования в техни­ко-экономических расчетах систем электро­снабжения возможно, когда с относительно небольшой погрешностью нелинейные функ­ции затрат З_i от расчетной мощности S_pi на различные элементы сети могут быть ап­проксимированы линейными зависимостями вида

(16)

где b, с — постоянные коэффициенты для ка­ждой типовой группы элементов электриче­ской сети; m – число элементов схемы элек­троснабжения.

Линеаризация затрат позволяет полу­чить простую функцию цели (линейная функция от расчетной мощности) следующе­го вида:

.

В результате появляется возможность использовать для определения искомых оп­тимальных значений параметров хорошо разработанные методы решения задачи ли­нейного программирования, например сим­плекс-метод.

Методы решения задачи линейного про­граммирования достаточно подробно изла­гаются в соответствующей литературе. Разработаны также стан­дартные программы для решения подобных задач на ЭВМ.

Нелинейное программирование яв­ляется наиболее общей задачей математиче­ского программирования и включает в себя методы определения минимума функции п переменных

F(x₁, х₂, ..., х_n) (17)

при m + п ограничениях

(18)

(19)

В общем случае функции F(x₁, х₂, ..., х_n) и ψ_j(x₁, х₂, ..., х_n) бывают произвольными и, в частности, линейными. Допускают любые соотношения между п и т.

Задачи нелинейного программирования по сравнению с задачами линейного про­граммирования обладают большим разно­образием. Решение задач нелинейного про­граммирования может давать два или более экстремума. Теоретически наиболее широко и детально в нелинейном программировании разработан раздел квадратичного програм­мирования, т. е. для методов решения задач квадратичного программирования найдены соотношения, являющиеся необходимыми и достаточными условиями оптимума, и ал­горитмы поиска экстремума с доказатель­ством их сходимости. Функции (17), (18) в этом случае представляют в виде суммы линейной и квадратичной форм

(20)

Методы квадратичного программирова­ния применяют, например, для решения за­дач оптимального распределения реактивной мощности, так как потери активной мощно­сти являются квадратичной функцией реак­тивной мощности. В настоящее время нет универсальных методов решения задачи не­линейного программирования. В зависимо­сти от свойств целевой функции (17) и ограничений (18) эффективным может оказаться тот или иной метод. Сравнительная оценка методов и подбор наилучшего из них являются сложной задачей и во многом за­висят от опыта программиста, так как незна­чительная доработка алгоритма может суще­ственно повысить эффективность метода.

Основной недостаток методов нелинейного программирования заключается в том, что с их помощью не удается найти глобальный экстремум при наличии нескольких ло­кальных экстремумов. Определить гло­бальный экстремум можно лишь методом динамического программирования.

Метод наименьших квадратов

Пусть мы имеем экспериментальные данные, и нам необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает разброс значений за счет погрешности эксперимента. Применяется метод наименьших квадратов.

Имеем таблицу экспериментальных данных

хi	x1	x2	x3	xn
yi = f (xi)	y1	y2	y3	yn

Введем непрерывную функцию  (х) для аппроксимации дискретной зависимости f (x_i). В узловых точках функции  (х) и f (x) будут отличаться на величину _i = (x_i) – f (x_i). Отклонения  могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений по всем узлам:

.

Метод построения аппроксимирующей функции (х) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

Далее: из условия Q' = 0 находятся неизвестные параметры.

Пример: парабола, линейная аппроксимация.

Динамическое программирование позволяет решать задачи, в которых процесс принятия решений может быть разбит на от­дельные этапы. При этом не имеет значения, протекает ли процесс во времени или пред­ставляет собой многошаговую формальную процедуру. Однако его применение зависит от определенных условий, обеспечивающих выполнение принципа оптимальности Беллмана.

Условия, при которых может быть при­менен метод динамического программирова­ния, следующие:

1) для рассматриваемой управляемой системы, которая под действием управления переходит из начального S₀ в конечное S_n со­стояние, состояние в конце k-го этапа S_k за­висит только от предшествующего состоя­ния S_k-1, и управления на данном этапе U_k. Это свойство получило название отсутствия последствия;

2) целевая функция должна быть адди­тивной, т. е. должна представлять собой сумму частных функций, рассчитанных на отдельных этапах:

.

Принцип оптимальности Беллмана мо­жет быть сформулирован следующим обра­зом: последующие решения должны соста­влять оптимальное поведение относительно предыдущего состояния, полученного в ре­зультате решения на предыдущем этапе, не­зависимо от того, какими бы эти состояние и решение ни были. Это положение в аналитической форме можно записать в виде следующего соотношения:

.

Динамическое программирование мож­но представить как некоторый оптимальный метод перебора вариантов. Это достигается за счет того, что на каждом этапе процесса рассматривают лишь оптимальное его пред­ложение. С помощью метода динамического программирования в настоящее время доста­точно эффективно решают задачи энергетики (например, оптимизация развития электриче­ских сетей, выбор варианта развития линий электропередачи, совместный выбор компен­сирующих и регулирующих устройств в си­стеме электроснабжения и др.).

Схемы замещения воздушных и кабельных линий электропередачи

(Герасименко А.А., Федин В.Т. Передача и распределение электрической энергии. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.- 715 с.)

Общие характеристики

Параметры фаз линий электропередач равномерно распределены по ее дли­не, т.е. линия электропередачи представляет собой цепь с равномерно распреде­ленными параметрами. Точный расчет схемы, содержащей такую цепь, приводит к сложным вычислениям. В связи с этим при расчете линий электропередач в об­щем случае применяют упрощенные Т- и П-образные схемы замещения с сосре­доточенными параметрами. Погрешности электрического расчета линии при Т- и П-образной схемах замещения примерно одинаковы. Они зависят от длины линии.

Д опущение о сосредоточенности реально равномерно распределенных па­раметров по длине ЛЭП справедливо при протяженности воздушных линий (ВЛ), не превышающей 300—350 км, а для кабельных линий (КЛ) 50—60 км. Для ЛЭП большей длины применяют различные способы учета распределенности их па­раметров.

Рис. 4. Схема замещения ЛЭП с сосредоточенными параметрами:

а — Т-образная; б — П-образная

Размерность схемы ЭС и, соответственно, системы моделирующих уравнений определяется числом узлов схемы. Поэтому в практических расчетах, в особенности с использованием ЭВМ, чаще используют П-образную схему замещения, имеющую одно преимущество — меньшую в 1,5 раза размерность схемы в сопоставлении с мо­делированием ЛЭП Т-образной схемой. Поэтому дальнейшее изложение будет вес­тись применительно к П-образной схеме замещения ЛЭП.

Выделим в схемах замещения продольные элементы – сопротивления ЛЭП Z = R + jX и поперечные элементы – проводимости Y = G + jB. Значения указанных параметров для ЛЭП определяются по общему выражению

П = П₀L,

где П = П (R₀, X₀, g₀, b₀) – значение продольного или поперечного параметра, отне­сенного к 1 км линии протяженностью L, км. Иногда эти параметры именуются погонными.

Для ЛЭП конкретного исполнения и класса напряжения используют част­ные случаи этих схем в зависимости от физического проявления и величины (зна­чения) соответствующего параметра. Рассмотрим кратко суть этих параметров.

Активное сопротивление обуславливает нагрев проводов (тепловые потери) и зависит от материала токоведущих проводников и их сечения. Для линий с про­водами небольшого сечения, выполненных цветным металлом (алюминий, медь), активное сопротивление принимают равным омическому (сопротивлению посто­янному току), поскольку проявление поверхностного эффекта при промышлен­ных частотах 50—60 Гц незаметно (около 1 %). Для проводов большого сечения (500 мм² и более) явление поверхностного эффекта при промышленных частотах значительно.

Активное погонное сопротивление линии определяется по формуле, Ом/км,

где ρ – удельное активное сопротивление материала провода, Ом-мм /км;

F – сечение фазного провода (жилы), мм².

Активное сопротивление не остается постоянным. Оно зависит от темпера­туры провода, которая определяется температурой окружающего воздуха (сре­ды), скоростью ветра и значением проходящего по проводу тока.

Омическое сопротивление упрощенно можно трактовать как препятствие направленному движению зарядов узлов кристаллической решетки материала проводника, совершающих колебательные движения около равновесного состоя­ния. Интенсивность колебаний и, соответственно, омическое сопротивление воз­растают с ростом температуры проводника.

Трудность уточнения активного сопротивления линий в зависимости от температуры заключается в том, что температура провода, зависящая от токовой нагрузки и интенсивности охлаждения, может заметно превышать температуру окружающей среды. Необхо­димость такого уточнения может возникнуть при расчете сезонных электрических режимов.

При расщеплении фазы ВЛ на n одинаковых проводов в выражении необходимо учитывать суммарное сечение проводов фазы.

Индуктивное сопротивление обусловлено магнитным полем, возникающим вокруг и внутри проводника при протекании по нему переменного тока. В про­воднике наводится ЭДС самоиндукции, направленная в соответствии с принци­пом Ленца, противоположно ЭДС источника

Противодействие, которое оказывает ЭДС самоиндукции изменению ЭДС источника, и обуславливает индуктивное сопротивление проводника. Чем боль­ше изменение потокосцепления dψ/dt, определяемое частотой тока ω = 2πf (ско­ростью изменения тока di/dt), и величина индуктивности фазы L, зависящая от конструкции (разветвленности) фазы и трехфазной ЛЭП в целом, тем больше ин­дуктивное сопротивление элемента X = ωL. To есть для одной и той же линии (или просто электрической катушки) с ростом частоты питающего тока f индук­тивное сопротивление увеличивается. Естественно, что при нулевой частоте (ω = 2πf = 0), например, в сетях постоянного тока, индуктивное сопротивление ЛЭП отсутствует.

На индуктивное сопротивление фаз многофазных ЛЭП оказывает влияние также взаимное расположение фазных проводов (жил). Кроме ЭДС самоиндук­ции, в каждой фазе наводится противодействующая ей ЭДС взаимоиндукции. Поэтому при симметричном расположении фаз, например, по вершинам равно­стороннего треугольника, результирующая противодействующая ЭДС во всех фа­зах одинакова, а следовательно, одинаковы пропорциональные ей индуктивные сопротивления фаз. При горизонтальном расположении фазных проводов потокосцепление фаз неодинаково, поэтому индуктивные сопротивления фазных про­водов отличаются друг от друга. Для достижения симметрии (одинаковости) па­раметров фаз на специальных опорах выполняют транспозицию (перестановку) фазных проводов.

Индуктивное сопротивление, отнесенное к 1 км линии, определяется по эм­пирической формуле, Ом/км.

При сближении фазных проводов влияние ЭДС взаимоиндукции возрастает, что приводит к уменьшению индуктивного сопротивления ЛЭП. Особенно заметно снижение индуктивного сопротивления (в 3-5 раз) в ка­бельных линиях. Разработаны компактные ВЛ высокого и сверхвысокого напря­жения повышенной пропускной способности со сближенными фазами с исполь­зованием эффекта взаимного влияния цепей и сниженным на 25-30 % индуктив­ным сопротивлением.

Отметим, что индуктивное сопротивление состоит из двух составляющих: внешней и внутренней. Внешнее индуктивное сопротивление определяется внешним магнитным потоком, образованным вокруг проводов, и значениями среднегеометрического расстояния между фазами и радиусом жилы. Естественно, что с уменьшением расстояния между фазами растет влияние ЭДС взаимоиндукции и индуктивное сопротивление снижается, и наоборот. У ка­бельных линий с их малыми расстояниями между токоведущими жилами (на два порядка меньше, чем в ВЛ) индуктивное сопротивление значительно (в 3-5 раз) меньше, чем у воздушных.

При расчетах обычно пользуются заводскими данными об индуктивном сопротивлении кабелей. Внутреннее индуктивное сопротивление определяется внутренним потоком, замыкающимся в проводах (приводится в справочной литературе).

Таким образом, активное сопротивление ЛЭП зависит от материала, сече­ния и температуры провода. Индуктивное сопро­тивление ЛЭП определяется исполнением линии, конструкцией фазы и практически не зависит от сечения проводов.

Емкостная проводимость обусловлена емкостями между фазами, фазными проводами (жилами) и землей. В схеме замещения ЛЭП используется расчетная (ра­бочая) емкость плеча эквивалентной звезды, полученной из преобразования тре­угольника проводимостей в звезду.

В практических расчетах рабочую емкость трехфазной ВЛ с одним прово­дом в фазе на единицу длины (Ф/км) определяют по формуле

(21)

Рабочая емкость кабельных линий существенно выше емкости ВЛ, так как жилы кабеля очень близки друг к другу и заземленным металлическим оболоч­кам. Кроме того, диэлектрическая проницаемость кабельной изоляции значитель­но больше единицы – диэлектрической проницаемости воздуха. Большое разно­образие конструкций кабеля, отсутствие их геометрических размеров усложняет определение ее рабочей емкости, в связи с чем на практике пользуются данными эксплуатационных или заводских замеров.

Емкостная проводимость ВЛ и КЛ, См/км, определяется по общей формуле

(22)

Емкостная проводимость КЛ зависит от конструкции кабеля и указывается заводом-изготовителем, но для ориентировочных расчетов она может быть оце­нена по формуле (подставляем 21 в 22):

(23)

Под действием приложенного к линии напряжения через емкости линий протекают емкостные (зарядные) токи. Тогда расчетное значение емкостного тока на единицу длины, кА/км,

(23)

и отвечающая ему зарядная мощность трехфазной ЛЭП, Мвар/км,

(24)

зависят от напряжения в каждой точке линии.

Значение зарядной мощности для всей ЛЭП определяется через действи­тельные (расчетные) напряжения начала и конца линии, Мвар,

(25)

либо приближенно по номинальному напряжению линии

(26)

Для кабелей 6-35 кВ с бумажной изоляцией и вязкой пропиткой известны генерации реактивной мощности q₀ на один километр линии, с уче­том которой общая генерация КЛ определится в виде

(27)

ЛЭП с поперечной емкостной проводимостью, потребляющая из сети опе­режающий напряжение емкостный ток, следует рассматривать как источник ре­активной (индуктивной) мощности, чаще называемой зарядной. Имея емкостной характер, зарядная мощность уменьшает индуктивную составляющую нагрузки, передаваемой по линии к потребителю.

В схемах замещения ВЛ, начиная с номинального напряжения НО кВ, и в КЛ—35 кВ и более следует учитывать поперечные ветви (шунты) в виде емкостных проводимостей В_с или генерируемых ими реактивных мощностей Q_c.

Расстояние между фазами ЛЭП в каждом классе напряжения, особенно для ВЛ, практически одинаково, что и определяет неизменность результирующего по-токосцепления фаз и емкостного эффекта линий. Поэтому для ВЛ традиционного исполнения (без глубокого расщепления фаз и специальных конструкций опор) реактивные параметры мало зависят от конструктивных характеристик линии, так как отношение расстояния между фазами и сечения (радиуса) проводов прак­тически неизменны, что в приведенных формулах отражено логарифмической функцией.

При выполнении фаз ВЛ 35—220 кВ одиночными проводами их индуктивное сопротивление изменяется в узких пределах: Х₀ =(0,40-0,44) Ом/км, а емкостная проводимость лежит в пределах b₀ =(2,6-2,8)-10^-6 См/км. Влияние изменения площади сечения (радиуса) жил кабеля на Х₀ более заметно, чем в ВЛ. Поэтому для КЛ имеем более широкое изменение индуктивного сопротивления: Х₀ = (0,06-0,15) Ом/км. Для кабельных линий всех марок и сечений напряжением 0,38-10 кВ индук­тивное сопротивление лежит в более узком интервале (0,06-0,10 Ом/км) и определя­ется из таблиц физико-технических данных кабелей.

Среднее значение зарядной мощности на 100 км для ВЛ 110 кВ состав­ляет около 3,5 Мвар, для ВЛ 220 кВ — 13,5 Мвар, для ВЛ 500 кВ — 95 Мвар. Учет этих показателей позволяет исключить значительные ошибки при расчете параметров линий или использовать указанные параметры в приближенных рас­четах.

Активная проводимость обусловлена потерями активной мощности из-за несовершенства изоляции (утечки по поверхности изоляторов, токов проводи­мости (смещения) в материале изолятора) и ионизации воздуха вокруг проводни­ка вследствие коронного разряда.

Потери в изоляции ВЛ незначительны, и явление коронирования в ВЛ воз­никает только при превышении напряженности электрического поля у поверхно­сти провода. Критическая величина – около 17-19 кВ/см. Такие условия для коронирования возникают в ВЛ 110 кВ и более высокого напряжения.

Коронирование и, соответственно, потери активной мощности сильно зави­сят от напряжения ВЛ, радиуса провода, атмосферных условий и состояния по­верхности провода. Чем больше рабочее напряжение и меньше радиус проводов, тем больше напряженность электрического поля. Ухудшение атмосферных усло­вий (высокая влажность воздуха, мокрый снег, изморозь на поверхности прово­дов), заусенцы, царапины также способствуют росту напряженности электриче­ского поля и, соответственно, потерь активной мощности на коронирование. Ко­ронный разряд вызывает помехи на радио- и телевизионный прием, коррозию по­верхности проводов ВЛ.

Для снижения потерь на корону до экономически приемлемого уровня пра­вилами устройства электроустановок (ПУЭ) установлены минимальные се­чения (диаметры) проводов. Например, для ВЛ 110 кВ — АС 70 (11,8 мм), для ВЛ 220 кВ — АС 240 (21,6 мм).

В технико-экономических расчетах, связанных с учетом стоимости потерь электроэнергии, потери на коронирование следует учитывать в ВЛ начиная с напряжения 220 кВ, диэлектрические потери в КЛ – с 35 кВ.

В КЛ под влиянием наибольшей напряженности находятся слои поясной изоляции у поверхности жил кабеля. Чем выше рабочее напряжение кабеля, тем заметнее токи утечки через материал изоляции и нарушение ее диэлектрических свойств. Последние характеризуются тангенсом угла диэлектрических потерь tg8, принимаемым по данным завода-изготовителя.

Активная проводимость кабеля на единицу длины, соответствующий ток утечки в изоляции кабеля и диэлектрические потери в материале изоляции КЛ следует учитывать для КЛ с номинальным напряжением 110 кВ и выше.

Пояснения к схемам замещения

П ри расчете симметричных установившихся режимов электрической системы схем замещения составляют для одной фазы.

При расчетах можно не учитывать какие-либо параметры, если их влияние на работу сети несущественно.

В ВЛ до 220 кВ потери мощности на корону, а в КЛ до 35 кВ диэлектрические потери незначительны. Поэтому ими пренебрегают и соответственно принимают равной нулю активную проводимость (см. схему замещения выше).

Необходимость учета емкости и зарядной мощности зависит от соизмеримости зарядной и нагрузочной мощности (доля свыше 10 % подлежит учету).

В проводах ВЛ при малых сечениях (16-35 мм²) преобладают активные сопротивления, а при больших сечениях свойства сетей определяются их индуктивностями. Активные и индуктивные сопротивления средних сечений (50-185 мм²) близки друг к другу. В КЛ до 10 кВ небольших сечений (50 и менее) определяющим является активное сопротивление, в таком случае индуктивные могут не учитываться.

Необходимость учета индуктивных сопротивлений зависит также от доли реактивной составляющей тока в общей электрической нагрузке. При анализе электрических режимов с низкими коэффициентами мощности (менее 0,8) индуктивные сопротивления КЛ необходимо учитывать. В противном случае возможны ошибки, приводящие к уменьшению действительной величины потери напряжения.

Учет параметров линий электропередачи

	Воздушные линии			Кабельные линии
	до 35 кВ включительно	110 кВ	220 кВ и выше	до 10 кВ небольших сечений (до 50 мм2)	до 35 кВ (6 – 20)	35 кВ	110 кВ	более 110 кВ
Активное сопротивление	+	+	+	+	+	+	+	+
Индуктивное сопротивление	+	+	+	–	+	+	+	+
Емкостная проводимость или зарядная мощность	–	+	+	–	–	+	+	+
Потери мощности на коронирование	–	–	+	–	–	–	–	–
Диэлектрические потери вследствие тока утечки через изоляцию	–	–	–	–	–	+	+	+

Электрический расчет линий электропередачи

(Князевский Б.А., Липкин Б.Ю. Электроснабжений промышленных предприятий. – М.: Высш. шк., 1986. 400 с.)

В екторная диаграмма для одного провода трехфазной линии, обладающей индуктивным сопротивлением и питающей индуктивную нагрузку на конце линии:

U_ф2 – фазное напряжение в конце линии. Вектор тока отложен под углом φ, соответствующим cos φ нагрузки.

,

где ΔU_ф = Iz – падение напряжения на сопротивлении линии электропередачи.

Падение напряжения (вектор) на активном сопротивлении Ir совпадает с направлением тока. Падение напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90 градусов. Ir + Ix = Iz – вектора.

Проекция вектора Iz на горизонтальную ось – продольная составляющая падения напряжения или потеря напряжения. Учитывается при выборе сечений проводов линий напряжением до 35 кВ.

.

Линейная потеря напряжения при этом определяется из соотношения между линейными и фазными напряжениями:

.

С учетом выражений

.

Для линий напряжением выше 35 кВ учитывается поперечная составляющая падения напряжения δU_ф, численно равная разности проекций векторов Ix и Ir на вертикальную ось:

.

Из векторной диаграммы следует, что поперечная составляющая определяется углом сдвига фаз θ между напряжениями в начале и конце линии.

Линейные напряжения в начале и конце линии:

;

,

где P₁, Q₁, P₂, Q₂ – соответственно мощности в начале и конце линии,

r, x – активное и реактивное сопротивление линии.

Схемы замещения трансформаторов

(Герасименко А.А., Федин В.Т. Передача и распределение электрической энергии)

При расчетах режимов трехфазных электрических сетей с равномерной загрузкой фаз трансформаторы в расчетных схемах представляются схемой замещения для одной фазы.

Обмотки трансформатора расположены на общем магнитопроводе. Поэтому схема состоит из контуров первичной и вторичной обмоток, связанных взаимной индукцией (рис. 12). Наличие магнитной связи между обмотками затрудняет исследование режимов работы трансформатора и электрической сети в целом. Поэтому в расчетах магнитная связь заменяется на электрическую.

Т-образная схема неудобна (содержит два контура). Поэтому используют Г-образную схему замещения.

С хема замещения отдельных обмоток

С хема замещения обмоток приведенного трансформатора

Т -образная схема замещения

Схема замещения линии электропередачи

с прямой и обратной Г-образными схемами замещения соответственно

понижающего и повышающего трансформаторов

Активная проводимость G_т обусловлена потерями активной мощности в стали трансформатора на перемагничивание и вихревые токи, реактивная проводимость В_т – мощностью намагничивания стали. Поскольку наличие этих проводимостей связано с токами холостого хода I_х (в основном намагничивающего тока), в приближенных расчетах в Г-образной схеме замещения проводимость трансформатора заменяют неизменной нагрузкой (потери мощности холостого хода трансформатора)

,

где ∆Р_х – потери активной мощности в стали трансформатора, является паспортной величиной;

∆Q_x – намагничивающая мощность трансформатора:

,

где I_x% – ток холостого хода трансформатора, является паспортной величиной;

S_ном – номинальная мощность трансформатора.

Использование схемы замещения, где проводимость (ветвь намагничивания) заменена мощностью потерь холостого хода, допустимо при напряжении до 220 кВ включительно.

При расчетах местных (распределительных) сетей 6-35 кВ влиянием проводимостей трансформаторов пренебрегают и используют простейшую схему замещения из последовательно соединенных активного и индуктивного сопротивлений.

В технико-экономических расчетах, связанных с расчетом и анализом потерь электроэнергии в распределительных сетях, потери мощности холостого хода необходимо учитывать, т. к. они соизмеримы с нагрузочными.

Активные и реактивные сопротивления одной фазы трансформатора определяют по результатам опыта короткого замыкания. Коротким замыканием называется режим работы трансформатора, при котором первичная обмотка присоединена к сети, а выводы вторичной обмотки соединены накоротко (U₂ = 0). Короткое замыкание при номинальном первичном напряжении является аварийным режимом, при котором токи в обмотках превышают номинальные в 10-15 раз, и опасно для трансформатора.

Опыт короткого замыкания проводится по соответствующей схеме. Напряжение, подводимое к трансформатору, плавно повышается от нуля до значения, при котором токи в обеих обмотках трансформатора равны номинальным. Это и есть напряжение короткого замыкания u_к, и обычно оно выражается в процентах номинального напряжения:

и составляет для силовых трансформаторов около 3-13 %.

Потери в стали незначительны из-за малости приложенного напряжения, все потери активной мощности практически целиком расходуются на нагрев его обмоток и могут быть приравнены к номинальным потерям в обмотках трансформатора ∆Р_к ≈ ∆Р_ном. Получаем

.

Индуктивное сопротивление трансформатора определяется напряжением короткого замыкания. Полное сопротивление трансформатора, Ом:

.

Реактивное сопротивление обмоток трансформатора

.

Для мощных трансформаторов (выше 1000 кВА) индуктивное сопротивление значительно больше активного, поэтому можно принять

.

Проводимости схемы замещения трансформатора определяют по результатам опыта холостого хода.

К первичной обмотке (при разомкнутой вторичной) подводится номинальное напряжение. Показания ваттметра W определяют суммарные потери активной мощности в первичной об­мотке и стальном магнитопроводе трансформатора. Так как ток холостого хода очень мал (составляет от 0,7 до 3,0 % номинального значения), потери мощности в активном сопротивлении первичной обмотки незначительны. Применяя Г-образную схему замещения, все потери холостого хода как бы переносят в стальной сердеч­ник, а потери в стали с небольшой погрешностью приравнивают к общим потерям холостого хода: ∆Р_ст ≈ ∆Р_х. Для одной фазы трансформатора

.

Отсюда, переходя к параметрам трехфазного трансформатора, получаем

.

Так как потери мощности холостого хода измеряют в киловаттах, напря­жение U_H0M в киловольтах, формула приобретает следующий вид (G_т в Ом^-1):

.

Активная составляющая тока холостого хода, отражающая потери в стальном магнитопроводе, меньше реактивной в 5—7 раз.

Реактивная проводимость ветви на­магничивания трансформатора, См, определяется аналогично:

где I_х — ток холостого хода, %;

S_H0M — номинальная мощность трансформатора, кВА.

В расчетных выражениях сопротивлений и проводимостей номинальные напряжения принимают в соответствии с тем, к какому напряжению (высшему или низшему) необходимо привести параметры схемы замещения трансформато­ра. При расчете режимов электрических сетей за расчетное напряжение принима­ют номинальное напряжение той обмотки трансформатора, которая непосредст­венно присоединена к линии.

Номинальные величины мощности S_H0M, потерь мощности ΔР_К, ΔР_Х, напря­жений U_H0M, u_K, и тока I_х даны в паспорте трансформатора: для однофазного — фазными значениями, для трехфазного — суммарной мощностью трех фаз, меж­дуфазовыми напряжениями и фазным значением тока.

Задача. Выполнить электрический расчет высоковольтной ЛЭП напряжением 110 кВ, длиной 65 км, предназначенной для электроснабжения предприятия, имеющего 50 % потребителей первой категории.

Нагрузка: Р_макс = 27 МВт;

cos φ = 0,8;

Т_макс = 4000 ч – число часов использования максимума нагрузки в год;

U₄ = 6,3 кВ – напряжение на шинах подст предприятия для внутреннего электроснабжения.

Источник питания: электростанция с напряжением на генераторах 10,5 кВ.

Решение.

1 ) расчет сечения проводов ЛЭП:

расчетный ток

;

экономическое сечение проводов ЛЭП соответствует минимальным затратам.

С увеличением сечения вырастают затраты на сооружение линии, отчисления на амортизацию, ремонт и обслуживание З₁, но снижаются потери мощности и электроэнергии и связанные с ними затраты З₂:

	Зависимость приведенных затрат от сечения

Из рисунка видно, что существует точка, в которой З₁=З₂ и суммарные затраты будут минимальны. Этой точке соответствует сечение, которое называют экономическим сечением:

,

где j_эк – нормированное значение экономической плотности тока, его величина зависит от числа часов использования максимума нагрузки в год, от типа изоляции провода и материала токопроводящей жилы;

для неизолированных медных проводов (от 3000 до 5000 ч/год) – 1,1 А/мм².

.

Для потребителей 1-й категории применяем двухцепную линию с проводами АС-95, для которой допустимый ток нагрузки составляет 330 А.

2) выбор мощности трансформаторов:

– повысительной подстанции – с предварительным учетом потерь мощности в линии (5 %):

, .

С учетом роста нагрузки и регулирования напряжения принимаем два трансформатора типа ТРДН мощностью по 25000 кВА (25 МВА) напряжением 10,5/121 кВ.

Т – трехфазный,

Р – расщепленная обмотка низкого напряжения,

Д – дутье – принудительная циркуляция воздуха и естественная циркуляция масла,

Н – оборудован устройством РПН (регулирование напряжения под нагрузкой).

Паспортные данные ТРДН 25000/ 10,5/121 кВ:

Р_хх = 36 кВт,

Р_к = 120 кВт,

i₀ (I_хх) = 0,85 %,

u_к = 10,5 %.

– понизительной (на предприятии) подстанции: с учетом возможной перегрузки в часы максимума принимаем два трансформатора ТДН-16000/115/6,3.

Р_хх = 26 кВт,

Р_к = 85 кВт,

i₀ (I_хх) = 0,85 %,

u_к = 10,5 %.

3) составление схемы замещения и расчет ее параметров (схема приведена в однолинейном исполнении, учет двух цепей будет произведен при расчете сопротивлений схемы):

П ри электрическом расчете линии схему внешнего электроснабжения представляют в виде трех звеньев: 1 и 3 – повышающий и понижающий трансформаторы, звено 2 соответствует ЛЭП внешнего электроснабжения предприятия.

U₁ и U₄ – напряжения соответственно в начале и конце линии;

Р₄ и Q₄ – активная и реактивная мощности нагрузки;

R₁₂, X₁₂, R₃₄, X₃₄ – активные и реактивные сопротивления обмоток трансформаторов повысительной и понизительной подстанций соответственно.

Данные для АС-95:

r₀ = 0,33 Ом/км;

х₀ = 0,4 Ом/км;

b₀ = 2,74·10^-6 Ом^-1/км. Тогда

, .

, .

, .

Определяем активные и реактивные сопротивления обмоток трансформаторов повысительной и понизительной подстанций:

,

, ;

,

; .

Определяем реактивную мощность холостого хода n трансформаторов:

,

, .

4) расчет ЛЭП по звеньям.

Третье звено. По условию, активная мощность потребителя в конце звена

P₄ = 27 МВт, cosφ = 0,8. Тогда реактивная мощность Q₄ = P₄ tgφ, Q₄ = 27·0,75 = 20,2 МВАр. Потери мощности в звене

, , ;

, .

Потери напряжения в звене

, ;

, .

Мощности и напряжения в начале третьего звена

, ;

, .

, .

Второе и первое звенья. Рассчитывают аналогично третьему звену с определением передаваемых активных и реактивных мощностей в конце и в начале звеньев.

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование является относительно новым и быстро развивающимся методом исследования поведения систем электроснабжения. Этот метод состоит в том, что с помощью ЭВМ воспроизводится поведение исследуемой системы управления; иначе говоря, имитация – это численный метод проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение системы управления для определения интересующих нас характеристик. Появление имитационного моделирования и его развитие обусловлено:

– потребностями практики (анализ сложных систем);

– развитием метода статистических испытаний (метода Монте-Карло): возможность моделирования случайных факторов, которые имеют место в реальных системах;

– развитие электронно-вычислительной техники, являющейся базой для проведения статистических экспериментов.

Преимущества:

– наличие множества случайных факторов сложной системы делает невозможным применение аналитических методов исследования, в результате имитационное моделирование оказывается единственным способом исследования;

– наблюдение за поведением системы в таких условиях, в которых натурный эксперимент просто невозможен; проведение имитационных экспериментов в широком диапазоне изменения параметров системы и внешней среды;

– детальное наблюдение за поведением имитируемой системы позволяет лучше понять содержание самой системы и разработать такие предложения по ее совершенствованию, которые были бы невозможны без имитации;

– позволяет дать представление о том, какие из параметров системы являются наиболее существенными;

Недостатки:

– в ряде случаев имитационные модели оказываются достаточно сложными, что требует больших затрат ресурсов на программирование, отладку моделей и проведение экспериментов;

– "имитационный мир", как и реальная действительность, оказывается трудно постижимым, ибо сложная имитационная модель приводит к большому числу разнообразных исходов, в результате возникаю трудности с интерпретацией полученной информации;

– анализ результатов имитации основан только на использовании математической статистики; для получения достоверных результатов требуется многократное повторение имитационных экспериментов, что влечет большие временные затраты;

– не разработаны принципы построения моделей для широкого класса систем управления, поэтому каждый конкретный случай требует специальной проработки.

При имитационном моделировании на ЭВМ можно выделить основные этапы:

– формулировка проблемы;

– построение математической модели функционирования системы;

– составление и отладка программы для ЭВМ, включая и разработку процедур моделирования различных случайных факторов;

– планирование имитационных экспериментов;

– проведение экспериментов и обработка результатов исследования.

Так как имитация основывается на математической модели, можно выделить два вида классификации имитационных подходов:

1) статическая или динамическая;

2) детерминистическая или стохастическая.

Статическая имитация – эксперименты проводятся на модели, элементы и параметры которой не зависят от времени. Динамическая имитация включает параметры, которые изменяются во времени. При детерминистической имитации переменные и параметры фиксированы и известны точно, при стохастической – некоторым или всем параметрам и переменным соответствуют вероятностные распределения.

Широкому внедрению имитационного моделирования на практике препятствует необходимость создания программных реализаций имитационных моделей. В отличие от традиционных методов программирования разработка имитационной модели требует перестройки принципов мышления. Принципы, положенные в основу имитационного моделирования, дали толчок к развитию объектного программирования. Основное назначение программных средств имитации – уменьшение трудоемкости создания программных реализаций имитационных моделей и экспериментирования с моделями.

Один из первых языков моделирования, облегчающих процесс написания имитационных программ, – язык GPSS, созданный в виде конечного продукта Джеффри Гордоном в фирме IBM в 1962 г. Этот язык в свое время входил в первую десятку лучших языков программирования, опережая транслятор с языка АЛГОЛ, и был реализован практически на всех типах ЭВМ. Изучение этого языка и создания моделей позволяет понять принципы разработки имитационных программ и научиться работать с имитационными моделями.

GPSS (General Purpose Simulation System – система моделирования общего назначения) – язык моделирования, который используется для построения событийных дискретных имитационных моделей и проведения экспериментов на ЭВМ.

Модели систем на GPSS могут быть записаны в виде блок-схем или представлены в виде последовательности строк программы, эквивалентных блок-схеме. Блоки – это подпрограммы, реализованные средствами макроассемблера. Имеются специальные средства для описания динамического поведения систем через изменение состояний в дискретные моменты времени, то есть время моделирования изменяется случайно от события к событию.

Значительное место в имитационном моделировании занимают системы массового обслуживания (СМО). С системами массового обслуживания мы встречаемся повседневно (очередь в магазине, пользование телефонной связью, выполнение программы на компьютере). Любое производство можно представить как последовательность систем обслуживания.

Особое значение приобрели такие системы при изучении процессов в информатике. Это компьютерные системы, сети передачи информации. Опыт моделирования разных типов дискретных событийных систем говорит о том, что около 80 % этих моделей основаны на СМО.

Система может характеризоваться как СМО, если заданы:

1) входящий поток требований или заявок, которые поступают на обслуживание;

2) дисциплина постановки в очередь и выбор из нее;

3) правило, по которому осуществляется обслуживание;

4) выходящий поток требований;

5) режимы работы.