Требования к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. ММ отражает лишь некоторые свойства объекта. Большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает габариты резистора, его цвет, механическую прочность и т.п.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Адекватность ММ – способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени и памяти) на ее реализацию. Вместо величины затрат, зависящей не только от свойств модели, но и от особенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины: размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и др.

Классификация математических моделей

Признак классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств объекта Принадлежность к иерархическому уровню Степень детализации описания внутри одного уровня Способ представления свойств объекта Способ получения объекта	Структурные; функциональные Микроуровня, макроуровня, метауровня Полные, макромодели Аналитические, алгоритмические, имитационные Теоретические, эмпирические

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов. Могут иметь форму графов, таблиц (матриц).

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов есть сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей, алгебрологических соотношений (алгебра логики), описывающих области, составляющие тело объекта.

Типы геометрических ММ.

Аналитические ММ – уравнения поверхностей и линий.

Алгебрологические ММ – тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для сложных поверхностей аналитические и алгебрологические модели слишком громоздки, их трудно создавать и использовать. Поэтому применяются каркасные и кинематические.

Каркасные ММ – это каркасы, т.е. конечные множества элементов, например точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. Выбор каркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиению поверхности на отдельные участки. Каждый участок, имеющий малые размеры, может быть описан простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из плавности сопряжений участков.

Кинематические ММ – поверхность представляется в параметрическом виде R (u, v), где R= f (x, y, z), u и v – параметры. Такую поверхность можно получить перемещением в трехмерном пространстве кривой R (u), которая в данном случае будет образующей, по некоторой направляющей линии.

Канонические модели используют в случаях, когда удается выделить параметры, однозначно определяющие геометрический объект и в то же время имеющие простую связь с его формой. (плоский многоугольник – координаты вершин; цилиндр – радиус цилиндра, направляющие косинусы, координаты некоторой точки оси).

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении.

Понятие блочно-иерархического подхода

Разделение описаний по степени детализации отображаемых свойств и характеристик объекта лежит в основе блочно-иерархического подхода к проектированию и приводит к появлению иерархических уровней (уровней абстрагирования) в представлениях о проектируемом объекте.

Н а каждом иерархическом уровне используются свои понятия системы и элементов.

На верхнем уровне подлежащий проектированию сложный объект S рассматривается как система из n взаимосвязанных и взаимодействующих элементов S_i, каждый из которых также представляет собой сложный объект из m элементов. Подобное разделение производится по функциональному признаку и продолжается вплоть до получения на некотором уровне элементов, описания которых дальнейшему делению не подлежат. Такие элементы по отношению к объекту S называют базовыми.

Таким образом, принцип иерархичности означает структурирование представлений об объектах проектирования по степени детальности описания, а принцип декомпозиции (блочности) – разбиение представлений каждого уровня на ряд составных частей (блоков) с возможностями раздельного (поблочного) проектирования объектов на различных уровнях.

Базовыми элементами СЭ при проектировании являются трансформаторы, комплектные устройства, коммутационные электрические аппараты, элементы электрических сетей (кабельные и воздушные линии, токопроводы, шинопроводы, троллеи), силовые щиты, шкафы, сборки, конденсаторные установки и источники реактивной мощности, а также приемники электрической энергии.

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. Количество уровней зависит от сложности объекта и возможностей средств проектирования.

В зависимости от места в иерархии описаний ММ делятся на ММ микро-, макро- и метауровней.

ММ на микроуровне отражают физические процессы, протекающие в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне – дифференциальные уравнения в частных производных. В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время (поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов).

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку. Поэтому ММ обычно – системы обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока).

Н а метауровне в качестве элементов принимают сложные совокупности деталей. Этот уровень характеризуется разнообразием типов ММ.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. На низших иерархических уровнях преобладают геометрические модели, на высших – топологические.

По степени детализации описания: понятия полная ММ (характеризуется состояние всех элементов проектируемого объекта) и макромодель (описание укрупненных элементов) относительны и характеризуются лишь различной степенью детальности описания свойств объекта.

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ – явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров (экономичность, но возможна лишь при существенных допущениях, что снижает точность и сужает область адекватности ММ).

Алгоритмические ММ – связи выходных параметров с внутренними и внешними представляются в форме алгоритма.

Имитационная ММ – алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.

Т.о., функциональные ММ – это, как правило, системы дифференциальных уравнений (в частных производных или обыкновенные). Для реализации этих моделей (для решения уравнений) нужно выбрать численный метод решения уравнений и преобразовать уравнения в соответствии с требованиями метода.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация – замены непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных интервалах; алгебраизация – замена производных алгебраическими соотношениями.

Если ДУЧП нестационарное (описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то алгебраизация и дискретизация состоит из двух этапов: устранение производных по пространственным координатам (1), устранение производных по времени (2).

Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений применяют итерационные методы. Главные показатели эффективности этих методов – вероятность и скорость сходимости итераций к корню системы.

Понятие численных методов расчета

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действием над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

Наиболее часто при анализе различных научных и технических проблем встречаются следующие численные задачи:

– отыскание корней алгебраических и трансцендентных уравнений;

– решение систем алгебраических линейных уравнений (СЛАУ);

– подбор формул по кривым;

– интерполяция и аппроксимация;

– численное интегрирование и дифференцирование;

– обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ);

– дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП);

– оптимизация.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит погрешность. Источниками погрешности приближенного решения являются:

– несоответствие математической модели реальному объекту;

– погрешность исходных данных (входных параметров);

– погрешность численного метода решения;

– погрешности округлений в арифметических действиях над числами – вычислительная погрешность.

Погрешность в решении, обусловленная неточностью математической модели и погрешностью входных параметров, называется неустранимой. Точность модели проверяется путем сравнения результатов экспериментов и типичных частных решений при некоторых значениях входных параметров. Влияние погрешности исходных данных можно оценить меняя исходные данные в пределах их погрешностей и сравнивая решения.

Численные методы сами по себе являются приближенными, т.к. любым численным методом решается более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. Например, вычисление значения любой элементарной функции сводится к разложению ее в степенной ряд с бесконечным числом членов. Естественно, процесс вычислений прерывается на некотором шаге, что дает приближенное решение.

Численный метод обычно зависит от одного или нескольких параметров: число итераций при решении систем уравнений или число учитываемых членов при суммировании ряда, шаг изменения подынтегральной функции при приближенном вычислении определенного интеграла. Погрешность метода или получаемая ее оценка обычно зависит от соответствующего параметра. С помощью этой оценки можно найти значения параметра, задающего метод, при которых погрешность метода лежит в требуемых пределах.

Очень сложно учесть вычислительную погрешность – погрешность округления. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного численного метода. Мало чувствительными являются итерационные сходящиеся методы, поскольку возникающие погрешности на следующих итерациях исправляются. Среди разностных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений выделяются так называемые устойчивые методы (разностные схемы), которые тоже мало чувствительны к погрешностям округления.

Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности (неточность ММ и погрешность входных параметров), а погрешность за счет округлений – в несколько раз меньше погрешности метода.

Требования к численным методам:

– точность метода;

– количество действий, с помощью которых реализуется метод, должно быть минимально возможным;

– чем меньше требуется памяти ЭВМ, тем лучше;

– логическая простота метода (чем проще, тем быстрее реализуется на ЭВМ).

Требования противоречивы, поэтому выбор всегда индивидуален и зависит от конкретных условий.

Основные понятия и термины математического моделирования систем электроснабжения

Электрическая система – совокупность элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и потребляющих электрическую энергию.

При составлении математического описания электроэнергетической системы надо учесть, что электрическая система включает в себя силовые элементы – генераторы, трансформаторы, преобразователи, нагрузки и электрические сети с линиями электропередач различного класса.

Электрическая система содержит также элементы управления, изменяющие и регулирующие состояние системы или режим системы. Для расчета режима системы необходим математический аппарат. Это возможно лишь в том случае, когда инженер ясно представляет себе физику работы энергосистемы, обусловленную физическими явлениями, одновременно происходящими во всех элементах системы.

Энергия – это количественный показатель работы электрической системы.

Качество энергии характеризуется величиной и частотой напряжения у потребителя.

Режим системы – это ее состояние в любой момент времени или на некотором интервале времени.

Параметры режима – показатели, зависящие от изменения режима (напряжения в различных точках системы, токи в ее элементах, углы расхождения векторов ЭДС и напряжений, активные и реактивные мощности и т. д.).

Три основных вида режимов электрических систем:

– нормальный установившийся режим: проектный режим электрической системы с расчетными технико-экономическими характеристиками;

– послеаварийный установившийся режим, наступающий после аварийного отключения какого-либо элемента или ряда элементов системы (в этом режиме система может работать с ухудшенными технико-экономическими характеристиками).

Эти два установившиеся режима характеризуются параметрами, не изменяющимися во времени, связи между параметрами представляются алгебраическими уравнениями.

– переходный режим, во время которого система переходит от одного состояния к другому; для него характерно изменение всех его параметров во времени и описание его дифференциальными уравнениями.

Любой режим состоит из множества различных процессов.

Параметры режима электрической системы связаны между собой определенными соотношениями, в которые входят некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от свойств элементов системы и от способов их соединения между собой.

Ток на участке линии передачи

,

где I, U₁, U₂ – параметры режима, Z – сопротивление данного участка линии.

Ток в ветви сложной системы в простейшей форме

,

где I, E₁, E₂, … , E_k – параметры режима,

Y₁₁, … , Y_1k – постоянные коэффициенты, называемые параметрами системы. Это: полные, активные и реактивные сопротивления, собственные и взаимные проводимости, коэффициенты трансформации, коэффициенты усиления и т. д.

Параметры системы могут зависеть от изменений ее режима. В этом случае система называется нелинейной. Параметры всех реальных электрических систем нелинейны (в различной степени), но математический аппарат для их исследования недостаточно разработан, поэтому на практике упрощают задачу, полагая систему на каком-либо участке линейной. Оставляют те нелинейности, которыми нельзя пренебречь: Р = U²/R.

Математические задачи электроэнергетики требуют овладения тремя большими разделами прикладной математики:

– методы решения сложных алгебраических уравнений при матричном их представлении;

– теория вероятности;

– дифференциальные уравнения.