§8.5. Опциональные даты выкупа (погашения).

Предположим, что личность, платящая налог на доход и НКП. Хочет получить чистый ежегодный доход по крайней мере i на данный займ. Предположим, что при определённых условиях, заёмщик имеет выбор, когда платить займ.

Какую цену должен (…) кредитор, чтобы получить чистый ежегодный доход по крайней мере i?

Как и ранее, мы предполагаем, что процент выплачивается p раз в год по ставке g за год на невыплаченный капитал (измеряется в наличных, а не в номинале). Заметим, во-первых, что если , кредитор должен заплатить С. В этом случае, всегда когда заём выплачен, кредитор получит чистый ежегодный доход i.

Если из (8.2.9) =>, что цена, обеспечивающая чистый доход i – это

Т.к. =>, что наименьшее значение будет, когда K имеет наибольшее. Т.о. кредитор должен оценить займ на основе того, что заёмщик выберет такой опцион, для которого капитальные выплаты имеют наибольшие возможные значения. (В частности, если весь займ должен быть выкуплен сразу, кредитор должен предположить, что займ будет выкуплен как можно быстрее). Если такой опцион фактически выбирается, кредиторский чистый доход будет i, иначе его поступления будут i.

Если , цена, обеспечивающая чистый доход i есть (см. 8.2.9) , где K – величина по ставке i валовых капитальных выплат и

(1)

Легко проверить, что

.

Т.к. =>, что , т.о. - возрастающая функция. Следовательно, чем меньше K, тем меньше , т.о. кредитор должен оценить займ на основе того, что заёмщик выберет такой опцион, для которого капитальные выплаты имеют наименьшие возможные значения. (В частности, когда займ должен быть заплачен одномоментно, кредитор должен полагать, что займ будет выплачен как можно позднее).

Пример 8.5.1 Займ номинальной суммы $100000 приносит 8% в год и выплачивается раз в полгода в конце. Условия выпуска обеспечивают, что заёмщик выплатит займ (по номиналу) в 10 последовательных ежегодных частях каждая по $10000 номинала. Первый платёж должен быть сделан в любое время (по опциону заёмщика) между 10 и 25 годами после даты выпуска.

Инвестор, платящий налог на доход по ставке 40% и НКП 30% желает купить весь заём на дату выпуска по цене, гарантирующей ему чистый ежегодный доход 7%.

1. Какая цена должна быть заплачена?

2. При условии, что первая капитальная выплата будет сделана через 14 лет, найти чистый доход, которого достигнет кредитор на сделку.

Решение (a) используя стандартные обозначения, имеем C=100000, p=2, g=0,08, . Т.к. , кредитор полагает, что капитальные выплаты имеют наименьшее возможное значение. Т.к. выплаты должны быть сделаны в 10 последующих лет, кредитор полагает, что погашение будет произведено как можно позднее, т.е. первый платёж будет после 25 лет. На основании этого

at 7% .

Величина чистых процентных выплат есть (по формуле Мэйкхэма)

.

Следовательно, цена, которую он должен заплатить

.

Т.о. если заёмщик отложит выплаты на самый последний срок, то чистый ежегодный доход кредитора будет 7%, если начнёт раньше – больше 7%.

(b) Итак, цена 72810,14 и (…) через 14 лет. Каждая (…) займа имеет стоимость $7281,01 (…).