Глава №6. Капитальная погашаемая акция.

§6.1 Введение и вычисление премий.

Капитальная погашаемая акция – это контракт, который в обмен на единственный платеж или ряд платежей установленной суммы, обеспечивает определенную сумму денег в конце фиксированного периода. Платежи, сделанные держателем акции называются премиями, а сумма, выплачиваемая в конце фиксированного периода, называется застрахованной суммой (страховкой). Дата, в которую страховка выплачивается, называется maturity датой.

Премии, выплачиваемые держателем акции, инвестируются страховой компанией для выплаты страховки в назначенное время. Для вычисления премий компания должна сделать:

а) соответствующее предположение о процентной ставке (ставках), по которым она будет инвестировать деньги;

б) установить расходы на обслуживание акции.

(1)

Стоимость премий, которые должны быть получены компанией

=

Стоимость бенефитов выплачиваемых компанией

+

Стоимость расходов, связанных с акцией

Уравнение стоимости может быть взято в любое время, но более удобно рассматривать его в датк распространения или дату погашения акции. Часто удобно (1) записать в виде:

[стоимость премий]-[стоимость расходов]=[стоимость бенефитов], причем расходы могут быть начальными и восстановительными.

Пример 6.1.1 Капитальная погашаемая акция с суммой страховки 10000 на срок 15 лет имеет уровень ежегодных, выплачиваемых авансом в течении действия акции ежегодных премий на основе процентной ставки 8% в год и начальными расходом 100 плюс 10% за первую премию и по 4% за каждую последующую премию. Найти ежегодную премию на акцию.

Решение Пусть Р^’ – ежегодная премия (взнос). После расходов компания инвестирует (0,9Р^’-100) из 1-й премии и 0,96Р^’ из последующих. Т.о, чтобы обеспечить страховку в конце 15 лет мы должны иметь

(0,9Р^’-100)(1+i)¹⁵+ (1+i)^15-t=10000 под 8%

Это уравнение может быть записано в терминах стандартных функций, например:

0,96Р^’(1+i)¹⁵+0,96Р^’ =10000+100(1+i)¹⁵

0,9Р^’ +0.06 =10000+100(1+i)¹⁵

Используя факт, что = из уравнений получим премию в терминах табулированных функций:

=368,99 под 8%

Пример 6.1.2 Условия предыдущей задачи, но расходы связанные со 2-й и далее премиями равны

а) 85

б) увеличивающийся процент на каждую премию линейно от 2,5% за 2-ю и 5% за последнюю.

Решение. Для t=1,2,3,…,14 пусть λ_t – увеличивающийся процент расходов на обслуживание премии. Тогда λ_t-2.5=(5-2.5)(t-1)/(14-1) или λ_t=2,3077+0,1923t – линейная функция.

Уравнение стоимости может быть выражено, как

(0,9Р^’-100)(1+i)¹⁵+ (1+i)^15-t=10000 или

0,9Р^’(1+i)¹⁵+0,976923Р^’ -0.001923P^’ (1+i)^15-t=10000+5 +100(1+i)¹⁵

Левая часть это , которое равно . Следовательно уравнение для Р^’ примет вид:

Р^’(0,9(1+i)¹⁵+0.976923 -0.001923 )=10000+5 +100(1+i)¹⁵ под 8%

Из которого получим Р^’=10447,977/28,0881=371,97

6.2 Стоимость акций.

Особая ситуация, в которой процентная ставка постоянна и нет расходов, представляет теоретический интерес. В этом случае единственная премия и уровень ежегодных премий (выплачиваемых авансом) на акцию сроком n лет и страховкой равной 1 обозначаются и соответственно. Эти премии называются чистыми премиями (так как нет расходов) и при соответствующей процентной ставке, даются уравнением стоимости.

Стоимость чистых премий = стоимость бенефитов (1)

Таким образом:

=vn=1-d (2)

= =1/ -d (3)

Если существует возможность конфликта между чистой и валовой премией, обычно используют P для чистой премии и P’ для валовой ежегодной премии. Обозначения P, P’ и P” могут использоваться, когда страховка не равна 1.

Любая страховая компания, распространяющая такие акции, должна аккумулироват премии для того, чтобы выплатить страховку на дату погашения. Для акции с ежегодными премиями, сроком на n лет и страховкой равной 1, символ (0≤t≤n) – аккумулированная сумма премий, заплаченных до момента t. - это стоимость акции или резерв. Для целых t следует:

(4)

= (5)

Умножая в (5) числитель и знаменатель на νⁿ получим:

= =1- =1- (6)

Иначе, (5) можно переписать:

=ν^n-t- = ν^n-t- = ν^n-t- (7)

Выражение (7) показывает, что - стоимость в момент t страховки (которая выплачивается в момент n) минус стоимость премий выплачиваемых до и после этого момента времени. Две альтернативные формулы (6), (7) для акции: 1-я получена ретроспективно, то есть аккумулированием выплаченных премий, а 2-я – перспективно, то есть как сумма страховки минус сумма остающихся премий.

Если t –не целое, то t=r+f, где r=0,...,n, а 0<f<1. По определению, стоимость выплаченной премии в момент r не включается в . Следовательно:

(8)

Перспективное выражение:

(9)

Пример 6.2.1 Пусть t и n – целые, 0<t<n. Показать, что - убывающая функция от i (i≥0).

Решение. Заметим вначале (см. (4)), что = , при увеличении i - увеличивается, следовательно для любого к – целого, - убывающая функция по i. Также, из (6):

1- = = =(1- )(1- )…(1- ).

Если i – увеличивается, каждый из членов ,…, - убывает. Следовательно, каждый из членов (1-V) – возрастает, а - убывает.

Zillmerized резерв.

Пусть капитальная redemption акция на n лет со страховкой равной 1 и ежегодными премиями, вычисляемыми с начальным расходами I и уровнем ежегодных расходов ℓ.

Ежегодная office премия определяется уравнением:

=νⁿ+I+ℓ

= +ℓ

= +ℓ (10)

Если обозначить резерв как , то из перспективного подхода получим:

=ν^n-t+ℓ - = ν^n-t+ℓ -( +ℓ) =[из (10)]=

=ν^n-t- -I = - I = (11)

=(1+I) -I (12)

- Зилмеризованный резерв (актуарий August Zillmer, 1831-93).

Заметим, что =-I.

Использование этого резерва показывает, что начальные расходы офиса покрываются засчет валовых премий за весь период действия акции.

Ретроспективный путь дает:

= -I(1+i)^t-ℓ

Подставляя для (10) получим предыдущую формулу.