§6.3 Стоимость акций, когда премии выплачиваются р раз.
Когда премия выплачивается р раз за
год, соответствующие обозначения для
чистой ежегодной премии и стоимости
акций или резерв в момент t
(акция сроком на n лет и
страховка равная 1) – есть
,
соответственно.
Ясно, что
=1,
=
-d(p)
(1)
Если t – целое, то
=
=
=
=
(2)
Если t - не целое:
а) t=r+(k/p), r и k – целые
б) t=r+(k/p)+f, 0<f<1/p
=
(3)
=[
+
](1+i)f
(4)
§6.4Выкупная стоимость, paid-up policy values & policy alterations.
Предположим, что держатель акции желает её изъять. Это означает, что он хочет прервать контракт для получения разовой суммы, которая называется стоимостью изъятия. Офис будет, вообще говоря, гарантировать стоимость изъятия приблизительно равную зилмеровскому резерву.
Если в момент t владелец акции желает сделать изменения (например в премиях, выплачиваемых в будущем, или дате погашения), необходимые вычисления выполняются с помощью уравнения стоимости, в котором владелец акции предполагается будет применять резерв как специальную единственную премию, направленную в новую акцию.
Уравнение стоимости имеет вид (1):
Стоимость резерва для существования акции |
+ |
Стоимость премий для изменения акции |
= |
Стоимость бенефитов по измененной акции |
+ |
Стоимость расходов, включая расходы на изменение |
Уравнение рассматривается на дату изменения. Например, предположим, что владелец акции сроком на n лет с ежегодными премиями и страховкой равной 1 требует, чтобы сразу перед премией выплачиваемой в момент t, все будущие премии должны быть равны Р*. Если расходы не учитываются, исправленная страховка S* определяется уравнением:
S*νn-t=
+P*
(2)
S*= (1+i)n-t+P*
В частном случае, когда P*=0
все будущие премии дисконтируются сразу
перед платежом премии в момент t
и акция делается paid-up.
Когда нет расходов, исправленная
страховка известна как paid-up
policy value и
обозначается
.
Из (2) (P*=0) получим:
= (1+i)n-t= (1+i)n-t=[из 6.2.4]=
=
=
(3)
Когда имеются расходы, страховка называется paid-up sum assured. Ее можно найти из уравнения (4):
Стоимость резерва для существующей акции |
= |
Стоимость paid-up sum assured |
+ |
Стоимость расходов по изменению |
Иногда для вычисления paid-up sum assured используется пропорциональное правило:
Paid-up sum assured =
* original sum assured,
где t – число премий, которые были выплачены.
Пример 6.4.1 На 1.01.64 капитальная акция была в действии на сумму страховки 100000 на срок 30 лет. Взносы (премии) выплачивались авансом ежеквартально 1.01, 1.04, 1.07, 1.10 каждый год. 30.09.79 все будущие квартальные взносы были уменьшены до 100, исправленной страховке была назначена цена. 1.05.83 владелец акции попросил страховую компанию определить:
I) стоимость изъятия
II) paid-up policy value.
Предполагая, что все вычисления были сделаны на базе чистых премий по ставке 8% в год, найти:
а) Уменьшенную страховку назначенную 30.09.79
б) surrender value и paid-up value назначенные на 1.05.79.
Решение. а) Начальная чистая ежегодная
премия на акцию была 100000
=100000/(
)
под 8% и равна 841,09
Резерв на 30.09.79 (т.е. за 15,75 года):
100000
=841,09
=26048,18
Так как исправленная ежегодная премия 1.10.79 была 400, исправленная страховка была
26048,18(1+i)14.25+400 =88459.88
Замечание. Для того, чтобы делать дальнейшие вычисления, мы нашли резерв на дату изменения. Более короткий метод нахождения исправленной суммы страховки, выразить это как начальная страховка минус стоимость премий, которые не будут получены в результате изменения, т.е.
100000-(841,09-400) =88459
б) Резерв на 1.04.83 может быть получен как аккумулированная сумма резерва от даты 1-го изменения плюс полученные премии, таким образом резерв 1.04.83. был:
26048,18(1+i)3.5+400
=35722.67
Surrender value на 1.05.83 – это резерв на этот момент:
(35722,67+100)(1+i)1/12=360553.15
Так как остающийся срок - 10⅔ года, то paid-up policy value:
36053(1+i)32/3=81933