§6.5 Изменение в процентных ставках: кусочно-постоянная ставка.

Пусть процентная ставка на первые n₁ лет равна i₁, n₂ – i₂, и равна i₃ на оставшиеся годы (n₁+ n₂<n). Тогда Р^* - чистая ежегодная премия (взнос) на единицу страховки дается уравнением:

Р*[ ]=1 (1)

Пример 6.5.1. На 1.04.73 офис распространял 30-тилетнии капитальные акции с ежегодными премиями и страховкой 60000. Премия (взнос) вычисляется на основе ежегодной процентной ставке 8% за первые 5 лет, 7% - следующие 10 лет, 6% - в остальные годы. Офис полагал, что все его инвестиции будут вложены в ценные бумаги сроком на 1 год. Расходы оставляли 50% от первого взноса и 2% от второго и последующих.

а) Найти ежегодный взнос.

б) 1.04.85 держатель акции вместо того чтобы внести взнос, попросил сделать акции paid-up. Гарантированная страховка paid-up была больше:

I) начальной страховки, умноженной на t/n

II) накопления до конца начального под 5,5% годовых, surrender value аккумулированую под 5,5% годовых, половину первого ежегодного взноса и 97% всех последующих полученных взносов.

Вычислить paid-up страховки. Найти прибыль или убыток офиса на 1.04.2003, если владелец не заберет свою акцию.

Решение. а) Пусть ежегодный взнос – Р^’, тогда

60000 = 0.98Р^’[ (1.07)¹⁰(1.06)¹⁵+ (1.06)¹⁵+ ] - 0.48P^’(1.08)⁵(1.07)¹⁰(1.06)¹⁵

Следовательно Р^’=60000/[(0.98*89.9723)-(0.48*6.9270)]=707.15

б) Так как 12 взносов были выплачены, paid-up больше:

(I) 12*60000/30=24000

(II) 1.055¹⁸[0.5P^’(1.055)¹²+0.97P^’ ]=29427.82

Накопление офиса на 1.04.2003:

P^’{0.98[ (1.07)¹⁰(1.06)¹⁵+ (1.06)¹⁵]-0.48P^’(1.08)⁵(1.07)¹⁰(1.06)¹⁵}=37188.53

Следовательно, прибыль офиса на 1.04.2003:

37188,33-29427,82=7760,71

§6.6 Логистическая модель Студли для силы процента.

Описанная модель для δ(t) в предыдущем параграфе – упрощенная. Более реалистическая модель может быть получена, используя непрерывную функцию, чтобы смоделировать будущие изменения в процентных ставках. Рассмотрим модель Студли.

Если мы предположим, что δ(t) – монотонна, сила процента в момент t (и в частности, если δ(t) – убывающая функция), мы можем попытаться смоделировать тренд процентных ставок с помощью логистической функции. Если мы предположим, что

δ(t)=P+ (1)

и

ν(t)=

Тогда (см. (2.6.2), (2.6.3)) следует:

ν(t)= = (2)

= (3)

Если мы обозначим через стоимость n-годовой немедленной ренты, то из (3) следует:

= (4)

Формулы, подобные (4), могут быть получены для непрерывно выплачиваемых рент и для рент, выплачиваемых несколько раз в год.

Уравнения (3) и (4) указывают разумные практические преимущества. Этой модели. Функция ν(t) и стоимость ренты при изменяющейся силе процента получается просто как взвешенное среднее соответствующих стоимостей постоянных сил процента (p+s) и р.

Определение p, r, s представляет интерес. Один из возможных подходов – назначить δ(0), δ(t₁), где t₁ – некоторое определенное будущее время и . Эти величины должны формировать монотонную последовательность и вместе с величиной t₁ будут определять константы p, r, s. Ссылка на один из способов определения – [31].

Пример 6.6.1. предположим, что мы хотим смоделировать падение ежегодной процентной ставки с уровня 11% до 8%. Мы считаем, что ставка 10% через 4 года является приемлемой.

Ставки 11%, 10% и 8% соответствуют силам процентов - log 1.11≈0.104, log1.1≈0.095, log1.08≈0.077.

Рассмотрим (1), полагая, что δ(0)=0.104, δ(4)=0.095 и δ(∞)=0.077. Используя [31], найдем, что р=0.077, r=3.57888, s=0.12363. Эти величины рассматриваются, как предварительные. После эксперимента, мы основываем нашу модель на исправлении параметра p=log1.08=0.076961, r=4, s=log1.25-log1.08=0.146183. эти новые параметры дают δ(0)=0.1062, δ(4)=0.0948 и δ(∞)=0.077. Более того, p и p+s – силы процента процентных ставок 8% и 25% соответственно. Из (3) следует

ν(t)=

=

Пример 6.6.2. На базе модели Студли (p=0.07661, r=4, s=0.146183) найти чистый ежегодный взнос, выплачиваемый поквартально авансом, на капитальную акцию со страховкой 100000 и сроком 25 лет. Найти также резерв и paid-up policy value в конце 20 лет.

Решение. Более простое выражение для ν(t) (3) делает предпочтительным работать с текущими стоимостями чем с накоплениями. Пусть р – ежегодный взнос, выплачиваемый поквартально. Тогда, если звездочка используется для обозначения стоимости ренты с падающей процентной ставкой:

Р =100000 ν(25)

То есть, Р[ ]=100000( )

И следовательно P=11757.20/9.8808=1189.90

Пусть V и W – резерв и paid-up стоимости акции через 20 лет. Тогда

Р =V[ν(20)]=W[ν(25)]

Таким образом Р[ ]=V( )=W( )

Отсюда следует:

V=P(9.1543/0.17395)=62619.72

W=P(9.1543/0.11757)=92648.65