Глава №9. Накопительные амортизационные фонды (наф)

§ 9.1. Введение

Говорят, что заём выплачивается НАФ, когда фиксированная сумма используется для того, чтобы выплатить заём следующим образом

процент выплачивается по установленной ставке от займа оставшегося на начало каждого периода. Этот процент может быть выплачен либо в конце каждого периода, либо равными суммами в регулярные интервалы в течение периода.
в конце каждого периода, после того, как процент заплачен, баланс фиксированной суммы используется, чтобы погасить часть оставшегося займа по установленной цене. Фикс. период. сумма называется сервисом займа. В определённых случаях процентная ставка или цена погашения не постоянны.

Так как дата погашения любой одной акции определяется случайно, величина части займа, погашаемого НАФ, не может быть определена точно.

§ 9.2. Соотношение между капитальными выплатами.

Рассмотрим заем номинальной суммы N, дающий процент по постоянной ставке D за единицу номинала ежегодно, который погашается НАФ, оперативными расчетами в конце каждого года. Пусть ежегодный сервис займа S, и предположим, что процент выплачивается in arrear p раз в год.

В конце каждого года, после того, как процент выплачен, баланс сервиса используется, чтобы погасить часть оставшегося займа. Пусть цена погашения за единицу номинала в момент t – R_t(t=1,2…). Пусть n_t – номинальный размер займа, выплаченный в момент t, N_t - номинальный размер займа, оставшегося после выплат, сделанных в момент t.

Рассмотрим период (t-1, t). Займ, оставшийся на начало периода – N_t_-1, так что сумма процентов, выплачиваемых в течение периода – DN_t_-1. Баланс сервиса, доступный для расчётов в момент t, это S - DN_t_-1. Так как цена погашения за единицу номинала – R_t, получаем

n_tR_t= S - DN_t-1

или

S = DN_t-1+ n_tR_t (1)

Аналогично

S = DN_t+ n_t+1R_t+1

Приравнивая последние два выражения для S, получим

n_t+1R_t+1= D(N_t-1 - N_t) + n_tR_t

Так как N_t_-1 - N_t = n_t, то

n_t+1R_t+1= n_t(R_t + D)

или

n_t+1R_t+1= n_tR_t(1 + D/R_t) (2)

Пусть х_t – сумма денег, используемых для расчетов в момент t. Тогда

х_t = n_tR_t

Из (2) следует

х_t₊₁ = (1 + D/R_t) x_t (3)

Пример9.2.1. Займ номинальной суммы $ 500 000, приносящей 5% ежегодно, выплачиваемый раз в полгода, должен быть выплачен через 45 лет НАФ, оперирующим ежегодными расчетами. Цена погашения – 115% для первых 5 лет, 110% для следующих 10 лет и по номиналу после этого. Ежегодный сервис займа – постоянная сумма такая, что деньги, доступные НАФ для финального расчета явно достаточно, чтобы выплатить займ, оставшийся на это время. Весь займ был куплен на дату выпуска по цене 105% инвестором, платящим налог на доход 40%.

Найти ежегодный сервис займа
Предполагая, что инвестор хранит займ до финального погашения, найти ЧЕД, который он получит по завершенной сделке

Решение.

Процент, требуемый в 1-й год – $ 25 000 и сумма годового сервиса – (25 000 + х₁). Из (3) следует

х_t₊₁ = (1 + 0.05/R_t) x_t , 1 ≤ t < 45 (*)

Так как

R_t =

Из (*) следует, что если мы определим g₁ = 0.05/1.15, g₂ = 0.05/1.1, g₃ = 0.05, то

X_t = (**)

в финальный год погашения по номиналу. Это означает, что х₄₅ должен равняться сумме займа оставшегося сразу же после последнего расчета НАФ. В финальный год общая сумма, требуемая для сервиса (чтобы выплатить капитал и процент) есть (1 + g₃)x₄₅. Начальный сервис – (25 000 + х₁). Следовательно

(1+g₃)x₄₅ = 25 000 + x₁

Комбинирую с (**), получим

x₁(1+g₁)⁵(1+g₂)¹⁰(1+g₃)³⁰ = 25 000 + x₁

Следовательно x₁ = 3406.16, S = $ 28406.16

На дату выпуска, если процент выплачивается ежегодно в конце, величина по ставке i займа для инвестора, свободного от налога должен быть 28406.16 . В то же самое время величина капитальных выплат есть