§8.3. Нкп, когда цена погашения или ставка налога не постоянны.

Предположим, что когда покупается заём, общая невыплаченная номинальная сумма - . Предположим, что номинальная сумма будет выкуплена через лет и в это время цена погашения , НКП . Если цена, заплаченная за весь заём - , (…) выкупаемая в момент на сумму , имеет цену . Это (…) общий НКП имеет величину

(1)

(2)

где - стоимость капитальной выплаты за i – ю (…) и - цена единицы номинала.

На практике эти суммы вычисляются группировкой тех членов, для которых ставка НКП и цена погашения постоянны.

Если такова, что для некоторого j , то для этих (…) НКП не выплачивается. В этом случае должно быть пересчитано, опуская соответствующие члены из сумм (1), (2).

Пример 8.3.1 15 лет назад заём номинальной суммы 300000 был выпущен, приносящим 8% и выплачивается в конце года. Заём должен быть выкуплен через 30 лет, номинальная сумма в 10000 выплачивается в конце каждого года. Цена погашения равна номиналу в первые 10 лет, 105% - следующие 10 лет и 110% - последние 10 лет.

Пятнадцатая капитальная выплата только что была сделана и инвестор хотел купить весь невыплаченный заём. Инвестор не плати налог на доход, но платит НКП по ставке 35% следующие 10 лет и по ставке 30% оставшиеся годы. Какую цену должен будет заплатить инвестор, если он хочет получать чистый эффективный ежегодный доход 10% на свои инвестиции?

Решение 15 лет – оставшийся срок займа, в течении которого три ситуации будут иметь место

1. 1-е 5 лет цена погашения 105% НКП 35%

2. 2-е 5 лет цена погашения 110% НКП 35%

3. 3-е 5 лет цена погашения 110% НКП 30%

Игнорируя премии при выкупе, инвестор может оценить капитальные выплаты как , где (at 10%). Таким образом . Номинальная сумма невыплаченная на момент покупки (…). Следовательно цена займа без учёта налогов

Мы должны сейчас оценить НКП. Пусть - цена, заплаченная инвестором. Так равные номинальные суммы выкупаются каждый год, каждая невыплаченная (…) имеет цену , т.ч. имеет значение

или

Т.к.

Замечание т.к. невыпл. займ 150000, это цена - $91,13%.

§8.4. Нахождение дохода при наличии нкп.

Один из возможных подходов – определить цену на основе двух различных чистых доходов и затем оценить реальный доход интерполяцией.

Т.к. цена покупки и сумма НКП известны, то и чистые прибыли также известны. В этой ситуации более легко выписать уравнение стоимости, которое даст базу для интерполяции.

Пример 8.4.1 Займ в 1000 дающий 6% в конце года будет выкуплен по номиналу через 10 лет. Инвестор, платящий налог на доход 40% и НКП 30%, купил заём за 800. Каков чистый эффективный ежегодный доход?

Решение Заметим, что чистый доход каждый доход 36 – это 4.5% цены покупки. Т.к. имеется прибыль при погашении, ясно, что чистый доход больше 4.5%.

Прибыль при погашении 200, т.ч. выплачиваемый НКП будет 60 и чистая цена погашения 940. Чистый эффективный доход за год таким образом будет то i, для которого .

Если чистая прибыль при погашении $140 была бы выплачена равными частями в течение 10 лет, а не разовой суммой. Чистые прибыли каждый год были бы 50 (36+14). Т.к. 50 (…) чистый реальный доход < 6,25%. Когда i = 0,055 правая часть уравнения = 821,66, а когда i = 0,06 – то 789,85. По интерполяции:

,

т.е. 5,84% за год.

Альтернативно, используя (8,27) или (82,8) мы можем найти цены дающие чистый доход 5,5% и 6%. Эти цены $826,77 и $787,81. Доход затем может быть получен интерполяцией.

Пример 8.4.2 Предположим, что в соответствии с займом, описанным в примере 8.2.1, инвесторские налоговые ставки на доход и НКП 40% и 30%, и что он купил весь займ на дату выпуска по такой цене, чтобы получать чистый доход 6% за год. После 8 лет (сразу после получения проц. выплат) инвестор продал весь займ другому инвестору, который платит такие же налоги. Цена, заплаченная вторым инвестором, была такова, чтобы обеспечивать ему чистый доход 6% за год и первый (…) НКП на момент продажи.

Найти чистый эффективный ежегодный доход на сделку (…) – м инвестором.

Решение Цена, заплаченная первым инвестором, была $439610 (решение прошлой задачи). В момент продажи оставшийся срок займа 21 год, и (…) – я выплата капитала произойдёт через 2 года. Второй инвестор оценил валовой капитал выплаты как

at 6% = 284043

и валовые доходные выплаты как

, где С = 525000

Для второго инвестора величина валовых поступлений (…) налога на доход есть

, что < $525000.

Следовательно, НКП будет выплачиваться вторым инвестором и цена, которую он действительно заплатит - , где

(…) от продажи первым инвестором есть $21774 (т.е. $461384 - $439610). Следовательно, НКП $6532,2 и чистая выручка от продажи $454851,8. Чистый доход за год для первого инвестора – это значение i, для которого

.

Пример 8.4.3 Определённая акция приносит за год, выплачивается поквартально 31.03, 30.06, 30.09 и 31.12. На 31.08 какого-то года, инвестор, купивший акцию по цене $49.50%, он продал её через один год по цене 57,71%. При условии, что инвестор платит НКП по ставке 30% и налог на доход по ставке 40%, найти чистый доход за год, который он получил.

Решение Рассмотрим покупку (…) 100 номинала за акцию. Её цена $49,50 и обеспечивает чистый ежегодный доход $3,30 (т.е. 0,6*5,50)? Чистая выручка от продажи, после выплаты НКП, была 57,71-0,03*(57,71-49,50)=55,25. Чистый ежегодный доход – это ставка процента, для которой

,

грубое решение ,

а интерполяцией получаем или 18.95%.