Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lection_9_present.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
13.11.2019
Размер:
537.53 Кб
Скачать

Вопросы и упражнения

1. Доказать, что если a1 + a2 + a3 = 0, то для любых векторы линейно зависимы.

2. Векторы a1a2 являются линейно зависимыми. Доказать, что векторы b1 = 2a1 + a2, b2 = a1 + 2a2 также линейно зависимы.

3. Векторы a1a2 являются линейно независимыми. Доказать, что векторы b1 = 2a1 – a2, b2 = a1 – 2a2 также линейно независимы.

4. Доказать, что для любых трех векторов a1a2a3 и любых трех чисел векторы линейно зависимы.

5. Векторы a1a2a3 являются линейно независимыми. Доказать, что векторы b1 = a1 + a2 + a3, b2 = – a1 + a3, b3 = a2 + a3 также линейно независимы.

3.4. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве

Теорема 3.4.1. Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и линейно зависимы, следовательно, + = , причем хотя бы одно из чисел 1, 2 отлично от 0. Допустим для определенности 2  0. Тогда

 +   =  ,  =  ,

т. е. векторы и коллинеарны.

Достаточность. Пусть векторы и коллинеарны. Будем считать, что среди них нет нулевого вектора, ибо в противном случае в силу теоремы 3.3.2 эти векторы будут линейно зависимы.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то в соответствии с теоремой 3.1.2 вектор представим в виде = . Тогда  + (1)  =  , что и означает линейную зависимость векторов и .

Следствие 3.4.1. Любые два неколлинеарных вектора и являются линейно независимыми.

Теорема 3.4.2. Три вектора в линейном пространстве V 3 являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы ,  ,  линейно зависимы, следовательно, существуют такие вещественные числа , что + + = , при этом хотя бы одно из них не равно нулю. Допустим для определенности, что   0. Тогда

+ + =

или

= .

Векторы , коллинеарны соответственно векторам и , а их сумма, т. е. вектор , будет лежать в плоскости векторов и . Следовательно, векторы , , компланарны.

Достаточность. Пусть векторы , , компланарны. Будем считать, что среди них нет ни одной пары коллинеарных, ибо в противном случае в силу теоремы 3.3.3 три данных вектора будут линейно зависимыми.

П

Рис. 3.4.1

риведем векторы ,  ,  к общему началу О (рис. 3.4.1). Проведем через точку С прямую С , параллельную вектору и пересекающую прямую О в точке В. Далее параллельно вектору спроектируем точку С на прямую О . Векторы и , а также и коллинеарны. Тогда в силу теоремы 3.1.2 , = . Однако = + = + , откуда + + (–1)  =  , что и означает линейную зависимость векторов ,  ,  .

Следствие 3.4.2. Если векторы , , некомпланарны, то они линейно независимы в V 3.

Следствие 3.4.3. Каковы бы ни были два неколлинеарных вектора , на плоскости, всякий третий вектор , лежащий в этой же плоскости, может быть разложен по векторам и в виде = + .

Теорема 3.4.3. Любые четыре вектора линейного пространства V 3 линейно зависимы.

Доказательство. Пусть ,  ,  ,  — произвольные векторы в пространстве V 3. Будем считать, что среди этих векторов никакие три не являются компланарными, ибо в противном случае данные четыре вектора будут заведомо линейно зависимы.

П

Рис. 3.4.2

риведем все векторы к общему началу О (рис. 3.4.2). Проведем через конец вектора плоскости параллельные плоскостям, в которых лежат пары векторов и , и , и соответственно. Обозначим через A, B, C соответственно точки пересечения указанных плоскостей с прямыми О , О , О .

Векторы и , и , и коллинеарны. Поэтому по теореме 3.1.2 = , = , = . Однако = + + , откуда + + +(1) = , что и означает линейную зависимость векторов , , , .

Следствие 3.4.4. Каковы бы ни были три некомпланарных вектора линейного пространства V 3, любой четвертый вектор из этого пространства может быть разложен по этим векторам.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]