Вопросы и упражнения

1. Какие векторы называются сонаправленными?

2. Какие векторы называются равными?

3. Являются ли два произвольных вектора компланарными?

Ответ: 1) нет, никогда; 2) да, всегда; 3) да, если они коллинеарны; 4) нет, если они неколлинеарны.

4. Могут ли быть равными два неколлинеарных вектора?

Ответ: 1) нет; 2) да; 3) да, если они имеют одинаковую длину; 4) да, если они ненулевые.

5. Если орты двух векторов противоположны, то каким свойством будут обладать указанные векторы?

Ответ: 1) коллинеарны и сонаправлены; 2) коллинеарны и противоположно направлены; 3) один из векторов нулевой; 4) оба вектора нулевые.

7. Что называется разностью двух векторов?

8. Как определяется произведение геометрического вектора на вещественное число?

9. Проверить на чертеже справедливость тождества .

10. Вектор делит угол между неколлинеарными векторами и пополам. Каким свойством обладают эти векторы?

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

11. В треугольнике ABC . Выразить медианы через векторы и .

Ответ: .

3.2. Линеал

Определение 3.2.1. Линейным пространством (линеалом) называют множество L элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого:

1. задано правило, по которому любым двум элементам x  L, y  L сопоставляется элемент s  L, называемый их суммой и обозначаемый s = x + y;

2. задано правило, по которому каждому элементу x  L и любому вещественному числу   R сопоставляется элемент p  L, называемый произведением x на  и обозначаемый p = x;

3. заданные правила при любых x, y, z  L и любых вещественных числах ,   R подчинены аксиомам:

1^ x + y = y + x;

2^ (x + y) + z = x + (y + z);

3^  0  L, что x + 0 = x;

4^ для x  L y  L , что x + y = 0;

5^ (x) = ()x;

6^ ( + )x = x + x;

7^ (x + y) = x + y;

8^ 1·x = x.

Следует отметить, что в приведенном определении не накладывается никаких ограничений на природу элементов множества L и конкретное задание правил операций суммы (x, y)  x + y и умножения на число (, x)  x.

Для задания конкретного линеала надо определить множество L и задать на нем операции сложения элементов и умножения элемента на число.

Если в качестве векторов рассматривать направленные отрезки и традиционные линейные операции, то линеалом V ¹ является множество всех свободных векторов на прямой. Линеал V ² — множество всех свободных векторов на плоскости. Линеал V ³ — множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве.

Линеал  = {0}, состоящий только из нулевого элемента 0, является простейшим.

Другим примером является линеал — множество упорядоченных наборов n вещественных чисел, где n — произвольное число, причем линейные операции вводятся так:

a + b = (α₁, α₂, …, α_n) + (β₁, β₂, …, β_n) = (α₁ + β₁, α₂ + β₂, …, α_n + β_n),

(α₁, α₂, …, α_n) = (α₁, α₂, …, α_n).

Линеал иногда называют координатным пространством.

Множество всевозможных матриц фиксированного размера с введенными на этом множестве операциями является линейным пространством.

Отметим, что все линеалы, за исключением простейшего линеала , имеют бесконечное количество элементов. Поскольку элементами линеалов являются векторы, то линейные пространства называют векторными пространствами.

В дальнейшем, во избежание недоразумений, где это необходимо, векторы пространств V ¹, V ², V ³ будем называть геометрическими векторами и выделять стрелкой и т. д.