6. Форми запису задач лп

Загальна задача ЛП – задача, в якій є обмеження у вигляді як нерівностей, так і рівностей, умова невід’ємності накладається не на всі змінні.

Стандартна задача ЛП – задача з однотипними обмеженнями у вигляді нерівностей і однотипними змінними.

Канонічна задача ЛП – всі змінні є невід’ємними, а обмеження мають форму рівностей.

Стандартна форма

F=cjxj->max

aijxj≤b1, I =1,n

Xj->0, j=1,n

Канонічна форма

F=cjxj->max

aijxj=b1, I =1,n

Xj->0, j=1,n

Стандартна формула важлива бо до неї зводиться більшість прикладних задач, а канонічна форма зручна в теоретичних і практичних дослідженнях.

Довільна форма запису задач лінійного програмування може бути отримана за допомогою еквівалентності

1. Перехід від максимізації Ф до мінімізації (-Ф) і навпаки.

2. Перехід від нерівності аі1х1+….+аіnхn≤b1 до нерівності -аі1х1-….-аіnхn≥b1 і навпаки

3. Перехід від нерівності

а) аі1х1+….+аінхн=<b1 до рівності аі1х1+….+аінхн+хн+1=b1 і навпаки

б) аі1х1+….+аінхн>=b1 до рівності аі1х1+….+аінхн+хн+1=b1 і навпаки

Xn+1 – називають допоміжною або балансовою зміною

4. Перехід від рівності аі1х1+….+аінхн=b1 до системи нерівностей

аі1х1+….+аінхн=<b1

аі1х1+….+аінхн>=b1

5. Перехід від довільної зміної хж до невідємних зміних xj’, xj’’ шляхом заміни xj=xj’-xj’’

6. Перехід від зміної xj>=dj ЗМІНОЇобмеженої знизу до невідємної зміної nj. шляхом заміни nj=xj-dj

7. Перехід від зміної xj=<0 до зміної Vj=-xj

7.Графічний метод розв’язування задач ЛП

використовується для задач у яких число змінних n≤2, або трьохвимірних задач. Ґрунтується на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях задач ЛП.

Алгоритм графічного методу

1. На площині Декартової системи координат будують прямі аі1х1+аі2х2=в1, і=1,м

2. Визначають півплощину, які відповідають вихідним обмеженням нерівності і виділяють ОДР, яка є перетином всіх півплощин враховуючи ще умови невідємності зміних х1 і х2

3. Будують вестор С(с1С2)і перпендикулярно до нього одну з прямих

4. Якщо множина Дне=0 у напрямку вектора С переміщяють одну з ліній рівняння при цьому може настати момент коли :

лінія рівня стане опорною

Лінія рівня не може бути опорною

5. Якщо опорна лінія існує то оптимальним розв’язком задачі будуть ті точки шо лежеть на одній ліній

Зауваження 1

При розвязку задач ЛП на мак.лінію рівня переміщюють у напрямку вектора С, а якщо на мін. То у напрямку –С.

Зауваження 2

При розвязку задач ЛПграфічним методом можливі такі випадки

Опорні точки належить одна точка

Опорні лінії належить нескінченна множинна точок

Множина ДНЕ=0РОЗВЯЗКІВ НЕМАЄ

Опорної лінії не існує

8.Симплекс метод

метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку; симплекс-метод також називають методом поступового покращення плану. Метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1949 році. Знаходження початкового опорного плану і перехід ддо наступного здійснюється за допомогою методу Жордана-Гаусса.

Умови застосування СМ:

Задача ЛП записана у канонічній формі

Матриця обмежень А має m рядків і n стовпчиків (m≤n), всі m рядків є лінійно незалежними

Всі bi≥0, iє1…m

Відомий початковий базисний розв’язок

Усі допустимі розв’язки є не виродженими (серед базисних змінних немає рівних 0)

Алгоритм симплекс методу

1.Переглянемо знаки всіх коефіцієнтів ◊J m+1 Рядка , якщо всі ◊J≥0то задача розв’язана: допустимий план х0є оптимальний і мах f =f(x0)=f0 якщо не всі ◊J≥0, то переходимо до наступного кроку.

2. Серед значень ◊J˂0 вибираємо найбільше за абсолютною величиною і стовпчик який йому відповідає називаємо провідним , нехай це буде S, якщо всі елементи ais≤0, то це означає що цілова функція f необмежена тобто maxF=∞.Розвязування закінченно,Якщо не всі ais≤0, переходимо до кроку 3

3.Для кожного елемента ais>0, Знаходимо відношення bі/ais вибираємо найменше, і беремо цей рядок за провідний. Нехай це буде рядок з номером r. елемент ars, який знаходиться на перетині провідного рядка і стовпчика і називається провідним

4. Виконуємо Жорданове перетворення симплексної таблиці з провідним елементом ars,і переходимо до кроку 1:

1. Провідний елемент замінюємо на ars=1

2. Усі решта елементів провідного рядка ділимо на провідний елемент

3. Усі решта елементів провідного стовпця замінюємо 0

4. Усі елементи які не належать провідного рядка або стовпчика обчислюємо за правилом прямокутника

Властивості двоїстих задач.

З кожною задачею ЛП пов’язана інша цілком визначена задача, яка називається двоїстою до заданої. Початкову задачу називають прямою або вихідною. Зв'язок між ними є взаємним. Розв’язавши одну з них, отримаємо розв’язок іншої. Така задача називається парою взаємопов’язаних задач.

Пряма: f=cx-˃max двоїста: F=Yb-˃min

AX≤b AY≥C

x≥0 Y≥0

Правила побудови двоїстих задач:

Якщо пряма задача ЛП на максимум, то двоїста буде на мінімум

Число змінних в двоїстій задачі = числу обмежень у прямій

Вектор коефіцієнта цільової функції прямої задачі стає вектором обмежень двоїстої

Якщо матриця А є матрицею обмежень прямої задачі, то А^Т є матрицею обмежень двоїстої

Якщо в прямій задачі x_j≥0, j-е обмеження в двоїстій задачі є нерівністю типу «≥», якщо x_j може набувати довільних значень, то , j-е обмеження в двоїстій задачі є рівністю.

Основні властивості пари двоїстих задач ЛП.

Для довільних допустимих розв’язків X=(x1,x2,x3…xn) i Y=(y1,y2…ym) прямої та двоїстої задач правильна рівність: f(x)≤F(y) (основна нерівність теорії двоїстості), то при довільному допустимому плані виробництва Х загальна вартість всієї продукції не перевищує сумарної оцінки ресурсів, яка відповідає в довільному плані оцінок У.

Якщо Х*=(х1*…хn*) i Y*=(y1*…ym*) – допустимі розв’язки прямої і двоїстої задач, для яких f(x*)≤F(y*), то Х* i Y* - оптимальні розв’язки відповідних задач. Це достатня умова оптимальності.

Перша теорема двоїстості:

Якщо одна з пари симетричних взаємодвоїстих задач має оптимальний план, то і друга задача також має розв’язок. При чому оптимальне значення цільових функцій відповідних задач збігаються: fmax=Fmin. Якщо цільова функція однієї з задач необмежена, то і друга задача також не має допустимих планів.

Друга теорема двоїстості:

Для того, щоб плани Х* i Y* були оптимальними необхідно і достатньо щоб виконувались співвідношення:

(Ʃaijyj-cj)xj=0, jє{1…n}

Yi=(bi-Ʃaijxj)=0, iє{1…m}

Розв’язування пари двоїстих задач симплекс-методом

Зв'язок який існує між парою взаємно двоїстих задач лінійного програмування дозволяє розв’язати одну з них за допомогою С.М. одночасно знайти і розв’язок інших, якщо наприклад пряма задача має початковий одиничний базис та за допомогою симплексних таблиць знаходимо розв’язок цієї задачі. Цей розв’язок знаходимо в стовпчику А0 останньої симплексної таблиці. Розв’язок двоїстої задачі знаходиться в m+1 рядку цієї таблиці стовпчиках векторів початкового базиса і дорівнюють сумі елементів m+1 рядка, що відповідають векторам одиничного базиса і відповідних Cj.