§3. Линейное приближение экспериментальных данных

Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента , которые представлены в данной таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию , описывающую приближенно (аппроксимирующую) эксперимен­тальные данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоу­гольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

Решение. Из условия задачи имеем:

 это значения переменной , полученные экспериментально.

это значения переменной , рассчитанные теоретически по формуле . Вычислим разность между экспериментальными и теоретическими значениями переменной , т.е. . Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Мы будем рассматривать эту разность в квадрате, т.е. . Просуммируем эти квадраты разностей по всем : . Наилучшими значениями параметров и будем считать те, при которых сумма принимает минимальное значение.

Таким образом, получаем классическую задачу: найти точку минимума функции двух переменных . По теории минимум функция может принимать только в тех точках, в которых частные производные и . Вычисления приведут к системе

Учитывая, что неизвестными в этих уравнениях являются параметры и , преобразуем систему к шаблонному виду, удобному для использования формул Крамера.

Тогда: ; .

Значения сумм приведены в таблице

i	xi	yi	xi^2	xi yi
1	1	4,3	1	4,3
2	2	5,3	4	10,6
3	3	3,8	9	11,4
4	4	1,8	16	7,2
5	5	2,3	25	11,5
Сумма	15	17,5	55	45

Вычислим:

;

Линейная функция , описывающая приближенно эксперимен­тальные данные, имеет вид . Ее график, а также экспериментальные значения изображены на рис. 2.

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Задача № 1. Установить, удовлетворяет ли данная функция данному дифференциальному уравнению в частных производных
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
			;
			;

Задача № 2 Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;

Задача № 3 Найти область определения функции

Задача № 4 Исследовать на экстремум функцию
Задача № 5 Найти производную данной функции в данной точке в направлении заданного вектора
	;					;
	;					;
	;					в направлении вектора , где точка .
	;					;
	;					;
	;					;
	;					;

Задача № 6 Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения
			при
			при
			при

Задача № 7 Найти наименьшее и наибольшее значения функции на замкнутой области :
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
			;
			;
	;		;

Список литературы

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов: в 2 т./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. школа, 1980. – Т.1. – 320 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. пособие для инжер.-техн. специальностей вузов: в 3 ч. / под общ. ред. А.П. Рябушко. Ч. 2. – Минск: Академ. книга, 2006. – 351 с.: ил.

Содержание

Введение 3