§2. Приложения частных производных

2.1. Производная по направлению функции двух и трех переменных

Сведения из теории

Мы рассматриваем функцию 2-х переменных . В общем случае переменные и могут изменяться одновременно и независимо друг от друга в области определения функции . При введении частных производных мы рассматривали два частных способа изменения и , а именно, когда одна переменная меняется, а вторая нет. Теперь введем понятие производной функции 2-х переменных при условии, что обе переменные меняются одновременно.

Обсудим один методический момент. Производная по направлению выводится в предположении, что точка удаляется от точки по прямой линии. Это предположение кажется неестественным, поскольку предполагается, что и могут изменяться совершенно произвольно. Следовательно, точка может удаляться от точки по произвольной траектории. Но понятие производной по направлению вводится в предположении, что расстояние от точки до точки стремится к 0. В этом случае любой криволинейный кусок траектории можно заменить куском касательной прямой, проведенной к этой траектории в точке . Именно поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы будем предполагать, что точка удаляется от точки по прямой линии.

Выведем формулу для вычисления производной функции 2-х переменных по направлению. Для этого должны быть даны три объекта:

1. конкретная функция 2-х переменных ;

2. конкретная точка, в которой вычисляется производная (разумеется, точка может быть обозначена любой другой буквой);

3. направление, в котором вычисляется производная (может быть задано либо вектором , либо направлением движения от точки к точке, либо углами и , образованными прямой с положительным направлением координатных осей). Относительно углов и оговорим следующее: угол может принимать только положительные значения из интервала . Угол при этом произвольным уже не является, он находится через угол по формуле . Из этой формулы получается, что угол может получиться отрицательным (полученным вращением луча от оси ОY по часовой стрелке).

Если все перечисленные объекты известны, то формула производной данной функции в данной точке по заданному направлению вектора имеет вид

.

В этой формуле нужно пояснить вычисление направляющих косинусов и в том случае, когда направление задано вектором. Вектор задан своими

координатами .

Вычислим длину вектора : . Тогда

: .

Посмотрим на формулу производной по направлению с точки зрения векторов. Введем вектор с координатами . Для конкретной функции и конкретной точки он определен однозначно. Он называется градиентом функции в точке и обозначается

.

Этот вектор указывает направление самого быстрого роста функции в точке . Длина этого вектора как раз равна скорости этого роста.

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора . Найти вектор .

Решение. Вычислим ;

.

Тогда вектор градиент будет иметь вид .

Найдем направляющие косинусы вектора :

; .

Окончательно производная по направлению будет равна

.

Так как , то функция в точке в направлении вектора убывает.

Ответ. ;

Замечание.

Производная функции трех переменных в точке по направлению вектора, образующего углы с координатными осями, имеет вид

.

Пример. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .

Решение.

; ; .

Вектор направления . Его длина . Тогда

, , .

Вычислим искомую производную по направлению

.

Ответ. , следовательно, функция в точке А в направлении вектора возрастает.