Совместная функция распределения двумерной случайной величины

Пусть – пара действительных чисел. Обозначим вероятность события , состоящего в том, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , обозначим через .

Если и будут меняться, то, в общем случае, будет изменяться и , т.е. есть функция от и .

Функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , называется совместной функцией распределения двумерной случайной величины (безразлично, дискретной или непрерывной):

= .

Геометрически это равенство можно истолковать так: – это вероятность того, что случайная точка ( ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной ( ), расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины

1. Значения совместной функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

.

_2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

, если ;

, если .

3. Совместная функция распределения имеет следующие предельные значения:

;

;

;

.

4. При совместная функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

;

при совместная функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

.

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину, которая описывается непрерывной совместной функцией распределения , имеющей непрерывные (за исключением, быть может, конечного числа точек), частные производные второго порядка, можно задать, пользуясь плотностью распределения.

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины ( , ) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

.

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле:

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).

Плотность совместного распределения вероятностей можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (с вершиной в точке и сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны этого прямоугольника стремятся к нулю.

Действительно, вероятность попадания случайной точки ( , ) в прямоугольник с вершинами , , и равна:

Применив к правой части теорему Лагранжа, получим:

где ; . Отсюда:

.

Приняв во внимание, что – площадь рассматриваемого прямоугольника, можно сделать вывод, что – это отношение вероятности попадания случайной точки в рассматриваемый прямоугольник к площади этого прямоугольника. Если перейти к пределу при и , то и и, следовательно, . Аналогично вероятности для дискретной случайной величины, плотность распределения вероятности для непрерывных величин можно представить в виде:

.

Свойства двумерной плотности вероятности

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице: .