Алгебра многочленов по модулю многочлена

Очень часто в практике находит применение следующая конструкция. Рассматриваются многочлены от переменной . При этом переменная удовлетворяет условию, что некоторый фиксированный многочлен от равен нулю. Например, верно равенство

Заметьте, что из этого равенства можно заключить, что

а также, после умножения на , , … получим

…

— то есть все степени , начиная с , могут быть выражены через многочлены меньшей степени. А значит, любой многочлен степени больше может быть упрощен до многочлена меньшей степени.

Задача 87[9]

Докажите, что если , то любой многочлен от может быть упрощен до многочлена степени меньше .

Подсказка Попробуйте упростить многочлен . Покажите, что результат совпадает с остатком при делении на .

Задача 88[9]

Докажите, что если дан многочлен степени , и многочлен степени , и известно, что , то многочлен может быть упрощен до многочлена степени меньше и, при этом, единственным образом.

Подсказка Результат упрощения равен остатку при делении на . Докажите, что существуют единственные и такие, что

где степень меньше степени .

Определение 8

Пусть есть многочлен степени , и мы полагаем что

Тогда все многочлены можно рассматривать с точностью до остатка при делении на . Многочлены, разность которых делится на , считаются равными. Все многочлены мы заменяем на остатки при делении их на . Множество остатков при делении на есть множество многочленов степени и меньше и называется

алгеброй многочленов по модулю .

В этой алгебре есть операция сложения — обычная операция сложения многочленов, и операция умножения — обычное умножение многочленов, после которого берется остаток при делении результата умножения на .

Задача 89[9]

Найдите, чему равны следующие многочлены по модулю .

Определение 9

Выражение

означает остаток при делении на .

Задача 90[9]

Найдите, чему равно

Задача 91[10]

Для многочлена найдите многочлен такой, что

Для каждого ли многочлена найдется такой ? Решение , , отсюда находим .

Задача 92[10]

Докажите, что алгебра многочленов по модулю совпадает с комплексными числами. В каком смысле они совпадают?

Задача 93[10]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю . Верно ли что, для каждого многочлена , который не делится на , найдется такой, что

Задача 94[10]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю . Верно ли что, для каждого многочлена , который не делится на , найдется такой, что

Определение 10

Многочлен называется неприводимым, если он не может быть разложен в произведение многочленов степени больше .

Задача 95[11]

а) Докажите, что в алгебре многочленов над комплексными числами не существует неприводимых многочленов степени больше . б) Докажите, что в алгебре многочленов над действительными числами не существует неприводимых многочленов степени больше  — неприводимы только те квадратные трехчлены, дискриминант которых отрицателен.

Задача 96[12]

Многочлены с действительными коэффициентами по модулю любого неприводимого многочлена изоморфны комплексным числам.

Примечание

Изоморфность означает одинаковость с точностью до переобозначения. Два множества элементов и с операциями сложения и умножения изоморфны если между их элементами существует взаимооднозначное соответствие, которое сохраняет операции сложения и умножения. Например, пусть элементу из соответствует элемент из  — это функция, осуществляющая соответствие элементов элементам ). Пусть и произвольные элементы . Тогда

Заметьте, что операции сложения и умножения слева от знака «равно» — это операции на множестве , а операции сложения и умножения справа — операции на множестве .

Подсказка Это соответствие строится следующим образом. Любой неприводимый квадратный трехчлен можно линейной заменой переменной превратить в . По многочлену можно найти многочлен  — его два коэффициента соответствуют мнимой и действительной части соответствующего комплексного числа. Действительные и комплексные числа называются числовыми полями. Есть ещё другие числовые поля. Если в каком-то числовом поле нет неприводимых многочленов степени больше , то оно называется алгебраически замкнутым. Комплексные числа — единственное алгебраически замкнутое числовое поле, где бесконечное (точнее несчетное) число элементов.