Преобразования комплексной плоскости
Поговорим о том, какие преобразования плоскости соответствуют различным операциям с комплексными числами.
Задача 41[8]
Какое преобразование плоскости переводит
в
?
Решение
При этом преобразовании и действительная,
и мнимая части увеличиваются в два раза.
Число
переходит
в
,
число
переходит
в
.
Все числа удаляются от точки
—
они становятся в два раза дальше от неё,
но при этом остаются в том же направлении,
что и до преобразования. Комплексная
плоскость как бы растягивается в два
раза относительно точки
.
Смотрите рисунки 3 и 4.
Примечание Это преобразование
называется гомотетией относительно
точки
с
коэффициентом
.
Гомотетия с коэффициентом
будет
сжимать плоскость в два раза относительно
центра.
Задача 42[9]
Какое преобразование плоскости
а) переводит
в
?
б) переводит
в
?
в) переводит в ?
г) переводит
в
?
д) переводит
в
?
е) переводит
в
?
ж) переводит
в
?
Используйте рисунки 3—8.
|
|
|
Рис. 3. Гомотетия растягивающая:
|
Рис. 4. Гомотетия сжимающая:
|
Рис. 5. Векторный перенос:
|
.
.
,
.Задача 43[9]
На плоскости задано две системы координат:
и
.
Система координат
повернута
относительно
на
45° по часовой стрелке. Найдите, как
по координатам
и
некоторой
точки
определить
её координаты
и
.
Подсказка
Заметьте, что если мы точку удалим от точки пересечения координат так, что и увеличатся в два раза, то и координаты и увеличатся в два раза. Отсюда сразу следует, что
где
,
,
и
—
некоторые вещественные числа. Осталось
подобрать их. Рассмотрим точки с
координатами
равными
,
,
,
.
Какие координаты
им
соответствуют?
Примечание
Эту задачу можно интерпретировать
по-другому: У нас есть одна единственная
система координат. Мы осуществляем
поворот всей плоскости против часовой
стрелки на 45° относительно точки
,
при этом оси координат
остаются
на месте. Все точки плоскости, кроме
точки
переместились.
Пусть точка
переместилась
в точку с координатами
.
Найдите зависимость
от
.
|
|
|
Рис. 6.
|
Рис. 7.
|
Рис. 8.
|
.
.
.Задача 44[9]
Какое преобразование плоскости переводит в:
а)
;
б)
;
в)
?
Подсказка Докажите, что модуль (расстояние от до центра ) при преобразованиях не меняется. Эти преобразования — повороты. Какие именно?
Задача 45[9]
Запишите формулу
для
симметрии относительно
а) мнимой оси;
б) прямой
.
Задача 46[9]
Запишите формулу для симметрии относительно точки .
Решение
Подсказка Докажите, что искомое
преобразование имеет вид
,
где
какое-то
комплексное число и учтите, что
.
Задача 47[10]
Запишите формулу симметрии относительно прямой, проходящей через под углом к действительной оси.
Решение
Обозначим
.
Умножение на это число соответствует
повороту. Симметрию относительно прямой,
направленной под углом
к
действительной оси можно представить
как последовательность поворота на
),
потом симметрии относительно действительной
оси, а потом поворота на
:
.
Множества на комплексной плоскости и уравнения
Задача 48[9]
Найдите (нарисуйте) множество точек (комплексных чисел) на комплексной плоскости, для которых верно равенство
Задача 49[9]
Чему равно расстояние на комплексной
плоскости между числами
и
(запишите
это число как функцию от
,
,
,
)?
Решение
.
Задача 50[9]
Запишите уравнение на комплексное число
,
решением которого является круг на
комплексной плоскости с центром
и
радиусом
.
Задача 51[9]
Где находятся комплексные числа , для которых
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
?
Задача 52[9]
Параметр
пробегает
все действительные числа. Какое множество
на комплексной плоскости пробежит число
,
если
а)
;
б)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
Решение
Пусть
.
а) прямая
;
б) парабола;
в) парабола — то же самое что и в
предыдущем пункте, только нужно домножить
на
(повернуть
на 90° и сделать сопряжение (симметрия
относительно
);
г) прямая
.
Подсказка Попробуйте подставить различные значения , найти соответствующие и отметить их на комплексной плоскости. Затем нужно соединить их гладкой кривой.
Задача 53[10]
Параметр пробегает все действительные числа. Какое множество на комплексной плоскости пробежит число , если
а)
;
б)
?
Решение
Пусть .
а) луч, направленный вниз от точки
,
так как
;
б) «худая» парабола, направленная вниз.
Задача 54[9]
Докажите, что треугольник с вершинами
,
,
подобен
треугольнику с вершинами
,
,
.
Задача 55[9]
Докажите, что отношение двух комплексных чисел равно действительному числу тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой с .
Задача 56[9]
Опишите множество комплексных чисел
,
для которых число
является
а) чисто мнимым;
б) действительным.
Подсказка
а) Алгебраический подход: положите
,
где
—
любое действительное число выразите
через
;
попробуйте подставить
,
,
,
,
и
поставить соответствующие
на
плоскости.
Геометрический подход: найдите множество чисел на плоскости, для которых треугольник , , имеет прямой угол при вершине .
б) Алгебраический подход: положите
,
где
—
любое действительное число и выразите
через
.
Геометрический подход: найдите множество чисел на плоскости, для которых точки , и лежат на одной прямой.