Задача 65[9]

Найдите все корни уравнения .

Задача 66[9]

Найдите все корни уравнения .

Теперь нетрудно записать общее решение для уравнения [3]. Если , а , то уравнение

можно записать как

Числа и действительны и положительны. Модули правой и левой части должны быть равны, Поэтому

Кроме того, аргументы правой и левой части должны совпадать с точностью до , то есть

Из первого уравнения определяется однозначно как . Аргумент может иметь различных значений, которые соответствуют , , , , .

Теорема 3.

Уравнение

имеет ровно корней. Первый корень имеет модуль, равный корню -ой степени из модуля , а аргумент — в раз меньший, чем аргумент :

Остальные корни определяются через :

Докажите эту теорему самостоятельно.

Как видите, чтобы найти все корни уравнения , достаточно найти один корень , а остальные корни получатся умножением его на , , , .

Задача 67 [9]

Найдите все корни уравнений

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Задача 68 [9]

Решите уравнения

а) ,

б) .

Подсказка Домножьте уравнения на .

Многочлены

Многочлены от  — это то, что можно получить из чисел и переменной с помощью умножения, сложения и вычитания. Многочлены можно умножать, складывать и вычитать, получая снова многочлены. Рассмотрим многочлены с действительными коэффициентами от переменной .

Примеры многочленов:

Все многочлены, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, имеют вид

Числа называются коэффициентами многочлена. Коэффициент , , называется старшим коэффициентом, а число  — степенью многочлена

Задача 69 [8]

Найдите степени многочленов, приведенных выше.

Задача 70 [9]

Докажите, что при умножении многочленов их степени складываются, а старшие (младшие) коэффициенты умножаются, то есть степень многочлена, равного произведению двух других, равна сумме их степеней, а старший (младший) коэффициент равен произведению их старших (младших) коэффициентов.

Задача 71 [9]

Раскройте скобки и приведите подобные:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  ;

е)  ;

ж) .

Деление многочленов

Умножать и складывать многочлены просто. Оказывается, их можно ещё и делить. Рассмотрим деление многочленов на примере:

Cтепень числителя равна , а знаменателя — . Давайте вычтем и добавим к числителю , получим:

Теперь старшая степень числителя равна . Чтобы уничтожить слагаемое нужно прибавить к знаменателю . Мы прибавляем и отнимаем :

Дальше этот процесс продолжать нельзя, поскольку степень числителя стала меньше, чем степень знаменателя. Таким образом, результат деления можно записать так:

Здесь есть результат деления, а  — остаток от деления.

Примеры деления многочленов:

Когда остаток при делении равен нулю, то значит первый многочлен делится на второй.

Определение 7.

Многочлен делится на многочлен , если существует многочлен такой, что выполнено равенство:

Задача 72[9]

Разделите один многочлен на другой с остатком:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Решение

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задача 73[9]

Известно, что имеет корень . Найдите остальные корни.

Ответ: , .

Подсказка Разделите на .

Задача 74[9]

Известно, что имеет корень . Найдите остальные корни.

Ответ: , , .

Задача 75[9]

Найдите все корни уравнения .

Ответ: , , , .

Подсказка Один из корней равен . Проверьте это.

Задача 76[12] Исследовательская задача

Пусть . При каких и многочлен делится на ? Например: многочлен делится на , делится на , многочлены , , делятся на , а , , — не делятся на .

Подсказка Заметьте, что должно делиться нацело на . Но это не достаточное условие. Докажите, что делится на при нечетном .

Мы умеем делить многочлены друг на друга с остатком, и значит можно говорить о наибольшем общем делителе двух многочленов.

Пусть и многочлены с коэффициентом 1 при старшей степени. Тогда

НОД( , )

есть многочлен максимальной степени с коэффициентом при старшей степени, на который делятся и .

Задача 77[10]

Найдите

а) НОД( , );

б) НОД( , );

в) НОД( , );

г) НОД( , );

д) НОД( , );

е) НОД( , ).

Задача 78[10]

Докажите, что НОД двух многочленов, есть многочлен, корни которого являются корнями как первого, так и второго многочлена.

Задача 79[10]

Найдите общие корни многочленов

Решение

НОД( , ) = , , .

Основная теорема алгебры

Мы уже с вами отмечали, что некоторые многочлены не имеют действительных корней, зато имеют комплексные корни. Например, уравнения

не имеют действительных корней, так как их правая часть положительна при любых действительных . Но, в то же время, комплексное число является корнем этих уравнений. Верна следующая теорема:

Теорема 4 (Основная теорема алгебры) Любой многочлен имеет комплексный корень.

Пояснения:

Коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и комплексными. Многочлен может иметь только действительные корни, но это не противоречит теореме, так как действительные числа являются подмножеством комплексных. Степень многочлена больше либо равна .

Более того, многочлен степени обычно имеет ровно корней. А именно, верно следующее следствие из основной теоремы алгебры:

Следствие 1 Любой многочлен степени может быть разложен в произведение многочленов степени с комплексными коэффициентами.

Многочлены степени называются линейными.

Например, многочлен

раскладывается в произведение линейных многочленов с действительными коэффициентами:

А многочлен

не может быть разложен в произведение действительных линейных многочленов — для его разложения нужны комплексные числа:

Задача 80[9]

Проверьте последнее равенство.

В комплексных числах любой многочлен (даже с комплексными коэффициентами) раскладывается в произведение линейных многочленов. Каждый множитель — линейный многочлен — дает один корень многочлена.

Задача 81[9]

Почему многочлен степени раскладывается ровно на линейных множителей?

Доказательство основной теоремы алгебры довольно сложно. В конце этой части мы рассмотрим схему одного очень популярного интуитивного доказательства. А сейчас давайте поверим, что это теорема действительно имеет место. Для этого вспомните задачи 1,2 и 3.

Задача 82[10]

Докажите, что если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряженное число также является его корнем. Решение Если многочлен имеет действительные максимальные коэффициенты, то (см. задачу 23), и если , то и .

Задача 83[10]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексный корень .

Решение:

Можно вспомнить про формулу квадратного уравнения и понять, что второй корень будет сопряжен первому. Остается по двум корням, и , восстановить само квадратное уравнение. Для этого раскройте скобки .

Подсказка: Среди квадратных трехчленов есть подходящий.

Задача 84[10]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексные корни и . Решение .

Задача 85[10]

Используя основную теорему алгебры, докажите, что любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой или второй степени с действительными коэффициентами. Решение Можно доказывать методом математической индукции по степени многочлена. Идея доказательства: у любого многочлена есть корень (основная теорема алгебры). Если это действительный корень , то многочлен делится на . После деления получаем многочлен степени на меньше — для него утверждение верно. Если корень комплексный , то сопряженное число тоже корень. А значит многочлен делится на . После раскрытия скобок в выражении получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. После деления получаем многочлен

на степени на меньше — для него тоже утверждение верно.