Очевидно, что g и h являются простыми программами, иначе f была бы не простой.
Рис. 1.
П
Рис.3.
δ(g) = α(f) + 3(β(f) – 1) + 1 =
= α(f) + 3β(f) – 3 + 1 = δ(f) – 3
δ(h) = α(f) + 3(β(f) – 1) + 1 =
= α(f) + 3β(f) – 3 + 1 = δ(f) + 3
Блок схема, представленная на рисунке 2, описывается следующей формулой:
(IF-THEN-ELSE, P, g, h) => для этого варианта теорема доказана.
II. Первая вершина – функциональная.
Е
сли
первая вершина блок схемы функциональная,
то она может быть представлена в виде,
представленном на рисунке 3, где h
– также простая программа.
Число управляющих линий в блоке h удовлетворяет соотношению:
δ(h) = α(f) – 1 + 3β(f) + 1 = α(f) + 3β(f) = δ(f) – 1
Блок схема представленная на рисунке описывается формулой:
(THEN, g, h) => теорема доказана.
III. Первая вершина объединяющая.
Вариант 1: первая вершина, за объединяющей – условная.
R
В этом случае программа представлена следующим образом (Рис.4). Этот случай аналогичен варианту I, поэтому можно выделить две программы: одна из которых содержит все вершины, лежащие на путях от X к R или Z, от Y к R или Z.
Эти программы не будут простыми, но так как f является простой программой, то каждая из выделенных программ должна достигать, по крайней мере, или R или Z. Поэтому необходимо вводить дополнительны функции Г и Ф для расстановки флажков, чтобы из сложной программы сделать простую.
(THEN, Г, (THEN, (DO – UNTIL, τ, (THEN, Ф, (IF – THEN – ELSE, P, g, h))), Ф))
поскольку данная блок-схема описывается стандартными управляющими структурами, то программа для данного варианта доказана.
Вариант 2: первая вершина, следующая за объединяющей – функциональная.
Преобразуем эту программу в эквивалентную ей. Эквивалентная программа описывается стандартной управляющей структурой.
(THEN, g, h)
Вариант 3: первая вершина, следующая за объединяющей – объединяющая.
Преобразованная схема является простой программой, теорема доказана. δg = δf
Исходная программа простая, а т.к. δf = δg , то эта программа простая
В каждом рассмотренном случае определена новая эквивалентная программа такая, что её формула не содержит не каких других имён управляющих структур кроме:
THEN
IF – THEN – ELSE
DO – UNTIL
Теорема о структурировании аналогична теоремам о разложении или о базисе в других областях математики, которые показывают каким образом все элементы некоторого множества или пространства могут быть представлены в виде комбинации базисных элементов.
Следствие: любая простая программа эквивалентна программе одного из следующих типов:
(THEN, g, h);
(IF – THEN – ELSE, P, g, h);
(DO – UNTIL, R, g)
где P – предикат исходной программы или τ, а каждая из функций g, h может быть в свою очередь простой программой, функцией исходной программы, Г, П, Ф.