Комплексные числа (повторение)
Определение 1 Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy,
где i - мнимая единица, и i2 = -1.
x = Re z – действительная часть числа z
y = Im z – мнимая часть числа z
Различные формы записи комплексных чисел
1) Алгебраическая форма z = x + iy
2) Тригонометрическая форма
Действительное
число r
=
называется модулем
комплексного числа
z = x + iy. Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z;
Угол
называется аргументом комплексного
числа z
и обозначается
:
,
где φ = argz
-главное значение аргумента комплексного
числа;
3) Показательная форма комплексного числа
- уравнение
окружности радиуса R
с центром в точке z0.
Задания
1). Найдите действительную часть комплексного числа z = 4+2i; z = 6;
z
= -7i;
;
Изобразите области
2).
Где расположены точки
,
для которых ;
;
;
;
?
3).
;
4).
;
5).
;
6).
;
Представить в тригонометрической и показательной формах число
7).
;
8).
;
9).
;
10).
;
11).
.
II. Функция комплексного переменного
Определение: Комплексная переменная величина W называется функцией комплексной величины Z , если каждому значению, которое может принимать величина Z, соответствует определенное комплексное числовое значение W = u + iv , те w = f(z).
Различают однозначные функции и многозначные
Определение:
Если каждому z D соответствует одно значение w, то функция w = f(z) называется однозначной. Если каждому z D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.
Необходимым
и достаточным
условием дифференцируемости функции
в точке
являются непрерывность в этой точке
частных производных 1-го порядка функций
и
по обеим переменным и выполнение равенств
,
Определение: Функция w = f(x), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области
Исследовать на аналитичность
12).
;
13).
;
14).
;
15).
;
Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части
16).
17).
18).
19).
и
20).
21).
III. Элементарные функции комплексного переменного
1.
Степенная
функция:
,
где
.
а)
натуральное
число, тогда
.
б)
,
где
,
где
Функция многозначная ( q – значная) Однозначная ветвь этой функции получается, если придать к определенное значение
в)
,
где
несократимая
дробь.
,
где
2. Показательная функция:
,
где
определяется равенством
3. Логарифмическая функциия:
Lnz
= ln
;
4. Тригонометрические функции:
,
,
5. Гиперболические функции:
,
,
,
.
;
- формулы связи между тригонометрическими
и гиперболическими функциями
6. Обобщенная
показательная функция w
=
и обобщенная степенная w
=
(а,
z
- произвольные комплексные числа,
)
функции определяются соотношениями
.
22).
Вычислить
а)
;
б)
;
23). Решить
уравнение
.
24). Найти
а)
z
=
,
б)
z
=
,
в)
z
=
,
г)
z =
.
25). Вычислить
а)
Ln(4);
б)
Ln(-1);
в)
;
г)
.
Найти действительную и мнимую часть выражения:
26).
а)
;
б)
sin2i; в)
cos(2 + i); г)
tg(2-i);
27).
Вычислить
а)
б)
в)
г)
.
IY. Интеграл от функции комплексного переменного
1.
Определение.
Предел
последовательности этих сумм при
,
если он существует, не зависит ни от
способа разбиения кривой на дуги, ни от
выбора точек tk,
называется интегралом от функции w
= f(z)
по кривой L
и обозначается
.
Контурный интеграл – это комплексное число.
Правило вычисления контурного интеграла:
Выделяем в подинтегральной функции действительную и мнимую части, т. е. представляем в виде f(z) = u(x,y) + i v(x,y);
Запишем dz = dx + i dy;
Составляем произведение f(z) на dz
f(z)dz = (u + iv)(dx +idy) = (udx – vdy) +i(vdx+udy;
Вычисляем интеграл вдоль L
Замечания:
1.
Если кривая L
– есть окружность или часть ее
-
уравнение этой окружности и функция
f(z)
непрерывна в каждой точке L,
то переменная интегрирования z
записывается в показательной форме:
z = R eiφ; dz = Reiφidφ
Если x = x(t), y = y(t),где
- параметрические уравнения кривей L,
то z = x(t) + iy(t) называют комплексно – параметрическим уравнением
28).
Найти:
где L
– ломаная
;
29).
Найти:
30).
Найти
где L
– отрезок FB
:
31).
Найти
,
от т.
до т.
+1
32). Найти:
