Миндерова О. Н.

Сборник упражнений по высшей математике

Дифференциальные уравнения

Системы дифференциальных уравнений

Элементы теории поля

Ряды

ТФКП

Операционные исчисления

III семестр

Классы ___121,122_________

Прежде чем приступить к решению упражнений,

выучи теорию,

используя литературу и лекции по ВМ.

Без знания теории практика бессмысленна!!!!

Данный сборник не является источником теоретического материала, предназначен только для практических занятий.

2012-2013

Тема № 1 Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Литература по теме:

1.Мачехина, Ильенок « ДУ первого порядка»

2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2

3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Решением или интегралом д/у называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество

Процесс нахождения решения д/у называется интегрированием

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение: Дифференциальное уравнение вида

(1)

называется уравнением с разделяющимися переменными

или

(2)

Метод решения: (1)

1. Разделяем переменные, перенося слагаемые в разные стороны, получим уравнение

2. Почленно делим обе части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными

3. Интегрируя обе части уравнения, получаем общее решение или интеграл исходного уравнения

4. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Метод решения: (2)

1. Подставляем , затем приводим уравнение к форме (1) и используем метод решения рассмотренный ранее

Найти общее решение или общий интеграл уравнения

№1^◦. №2^◦. .

№3^◦. y’ = cos(2x + 5) №4^◦.

№5^◦. №6^◦.

№7^◦. ; №8^◦. ,

№9^◦. ; №10. ; .

№11^•. №12^•.

№13^•. №16^•. №14^• ; №15^•. ^• ;

2. Однородные уравнения

Определение: Уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного измерения.

Уравнение - однородное, если функция f(x, y) – однородная нулевого измерения.

Метод решения

1. Вводим новую переменную , где - дифференцируемая функция

2. Находим ;

3. Получаем д/у с разделяющими переменными относительно функции u(x), решив его делаем обратную замену

Найти общее решение или общий интеграл уравнения

№16^◦.. ; №17^◦. .

№18^◦.. №19^◦.

№20^◦. №21^◦.

№22^◦. №23^◦.

№24^•. . №25^•.

№26^• . №27^•. ; .

№28^• ; . №29^•.

3. Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение вида

P(x) и Q(x )- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b., в частности константы, называется линейным

Решение линейного уравнения ищем в виде , где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции и

Найти общее решение или общий интеграл уравнения

№30^◦ . №31^◦.

№32^◦. №33^◦.

№34^◦. №35^◦.

№36^◦. , . №37^•.

4. Уравнения Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х в частности константы, а n R, n 0 и n 1.

Решение уравнения Бернулли ищем в виде , где

№38^◦. №39^◦.

№40^•. №41^◦.

№42^•. №43^◦.

№44^◦. №45^•.