- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Найти общее решение или общий интеграл уравнения
- •I.Вопросы по теме « Дифференциальные уравнения первого порядка»
- •Знать с доказательством:
- •2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •Б). Лнду вида
- •Метод Лагранжа
- •Решить лнду методом Лагранжа
- •II. Вопросы по теме:
- •III.Системы дифференциальных уравнений
- •1. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •III. Вопросы по теме: « Системы дифференциальных уравнений»
- •1. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •Градиент
- •Найти градиент скалярного поля
- •Поток вектора
- •Дивергенция
- •Найти дивергенцию векторного поля
- •Циркуляция
- •Тема № 3 Ряды
- •2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2 Знакоположительные ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды
- •План нахождение области сходимости:
- •Тема № 4 Ряды Фурье Литература:
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •Тема 5:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
- •Комплексные числа (повторение)
- •2) Тригонометрическая форма
- •3) Показательная форма комплексного числа
- •II. Функция комплексного переменного
- •2. Формула Ньютона –Лейбница
- •3. Теорема Коши для односвязной области
- •4. Интегральная формула Коши
- •1. Особые точки.
- •2. Вычеты
- •Вопросы по теме:
- •Тема 6: Операционные исчисления
- •2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •1. Оригиналы и их изображения
- •Нахождение оригинала по изображению
- •2. Применение преобразования Лапласа к интегрированию линейных неоднородных дифференциальных уравнений
- •Вопросы по теме:
Миндерова О. Н.
Сборник упражнений по высшей математике
Дифференциальные уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Элементы теории поля
Ряды
ТФКП
Операционные исчисления
III семестр
Классы ___121,122_________
Прежде чем приступить к решению упражнений,
выучи теорию,
используя литературу и лекции по ВМ.
Без знания теории практика бессмысленна!!!!
Данный сборник не является источником теоретического материала, предназначен только для практических занятий.
2012-2013
Тема № 1 Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Литература по теме:
1.Мачехина, Ильенок « ДУ первого порядка»
2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Решением или интегралом д/у называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество
Процесс нахождения решения д/у называется интегрированием
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение: Дифференциальное уравнение вида
(1)
называется уравнением с разделяющимися переменными
или
(2)
Метод решения: (1)
Разделяем переменные, перенося слагаемые в разные стороны, получим уравнение
Почленно делим обе части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными
Интегрируя обе части уравнения, получаем общее решение или интеграл исходного уравнения
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Метод решения: (2)
Подставляем , затем приводим уравнение к форме (1) и используем метод решения рассмотренный ранее
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№1◦. №2◦. .
№3◦. y’ = cos(2x + 5) №4◦.
№5◦. №6◦.
№7◦. ; №8◦. ,
№9◦. ; №10. ; .
№11•. №12•.
№13•. №16•. №14• ; №15•. • ;
2. Однородные уравнения
Определение: Уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного измерения.
Уравнение - однородное, если функция f(x, y) – однородная нулевого измерения.
Метод решения
Вводим новую переменную , где - дифференцируемая функция
Находим ;
Получаем д/у с разделяющими переменными относительно функции u(x), решив его делаем обратную замену
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№16◦.. ; №17◦. .
№18◦.. №19◦.
№20◦. №21◦.
№22◦. №23◦.
№24•. . №25•.
№26• . №27•. ; .
№28• ; . №29•.
3. Линейные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение вида
P(x) и Q(x )- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b., в частности константы, называется линейным
Решение линейного уравнения ищем в виде , где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции и
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№30◦ . №31◦.
№32◦. №33◦.
№34◦. №35◦.
№36◦. , . №37•.
Уравнения Бернулли
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где P и Q – функции от х в частности константы, а n R, n 0 и n 1.
Решение уравнения Бернулли ищем в виде , где
№38◦. №39◦.
№40•. №41◦.
№42•. №43◦.
№44◦. №45•.