- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Найти общее решение или общий интеграл уравнения
- •I.Вопросы по теме « Дифференциальные уравнения первого порядка»
- •Знать с доказательством:
- •2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •Б). Лнду вида
- •Метод Лагранжа
- •Решить лнду методом Лагранжа
- •II. Вопросы по теме:
- •III.Системы дифференциальных уравнений
- •1. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •III. Вопросы по теме: « Системы дифференциальных уравнений»
- •1. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •Градиент
- •Найти градиент скалярного поля
- •Поток вектора
- •Дивергенция
- •Найти дивергенцию векторного поля
- •Циркуляция
- •Тема № 3 Ряды
- •2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2 Знакоположительные ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды
- •План нахождение области сходимости:
- •Тема № 4 Ряды Фурье Литература:
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •Тема 5:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
- •Комплексные числа (повторение)
- •2) Тригонометрическая форма
- •3) Показательная форма комплексного числа
- •II. Функция комплексного переменного
- •2. Формула Ньютона –Лейбница
- •3. Теорема Коши для односвязной области
- •4. Интегральная формула Коши
- •1. Особые точки.
- •2. Вычеты
- •Вопросы по теме:
- •Тема 6: Операционные исчисления
- •2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •1. Оригиналы и их изображения
- •Нахождение оригинала по изображению
- •2. Применение преобразования Лапласа к интегрированию линейных неоднородных дифференциальных уравнений
- •Вопросы по теме:
Ду в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции ,
тк du(x) =0, то u(x) = C - это есть общий интеграл заданного д/у
Формы нахождения u(x,y) по ее полному дифференциалу:
1)
или
где ( ) – любая фиксированная точка, входящая в область определения функций P(x,y) и Q(x,y)
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№46◦ . . №47◦. .
№48◦. . №49◦. .
№50◦. . №51. .
№52• ; . №53•. ; .
I.Вопросы по теме « Дифференциальные уравнения первого порядка»
Что называется уравнением?
Что является решением любого уравнения?
Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
Что называется решением ДУ?
В каком случае ДУ называется обыкновенным? В частных производных?
Что определяет порядок ДУ?
Что значит решить ДУ?
Как называется процесс нахождения решения ДУ?
Что является графиком решения ДУ
Общий вид ДУ первого порядка
ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной
Что называется общим решением (общим интегралом) ДУ?
Что называется частным решением (частным интегралом)ДУ?
В чем заключается задача Коши?
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Знать с доказательством:
Определение, формы записи, метод решения уравнений типа:
а) с разделяющимися переменными;
б) однородные I порядка;
в) линейные I порядка;
г) в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Литература по теме:
1.Ильенок, Бажанова « ДУ высших порядков»
2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
1.Уравнения, допускающие понижение порядка
№ |
Общий вид |
Метод решения |
1 |
|
Интегрируем столько раз, каков порядок уравнения |
2 |
; |
Замена: |
3 |
; |
Замена: |
а) Уравнение вида
Решить уравнения
№54◦. №55◦.
№56•. , если при , .
№57•. , если при , , , .
№58•. , ели при , , .
№59•. , если при , , .
№60•. , если при , , .
б) Уравнение вида
№61◦. . №62◦. .
№63◦ . №64• .
№65•. , если при , .
№66•. , если при , .
№67•. , ели при , , .
в) Уравнение вида
№68◦. , считая №69◦ . .
№70◦. . №71•. .
№72•.
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Корни характеристического уравнения |
|
|
|
Частные решения (ФСР) |
Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить уравнения
№73◦. . №74◦. .
№75◦. . №76◦. .
№77◦. . №78◦. .
№79◦ . №80◦. .
№81◦. . №82◦. .
№83•. , если при , , .
№84• , если при , , .
№85• , если при , , .
3. Линейные неоднородные ДУ.
Решить ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
а). ЛНДУ вида
Общий вид |
Общее решение + |
где - решение соответствующего однородного уравнения |
, где - из условия; и - многочлены n – степени, n ϵ Z |
- кратность корня: если , то = 0; если , то = 1; если , то = 2. |
Замечание: если n = 0, то = ; если n = 1, то = ;
если n = 2, то = ;
№86. . №87. .
№88. . №89. .
№90. . №91. .
№92. .
№93. если при , .