Знакопеременные ряды

Знакопеременные ряды – это числовые ряды, содержащие бесчисленное множество положительных и бесчисленное множество отрицательных членов

Определение: Знакопеременный ряд, у которого положительные и отрицательные члены ряда следуют строго друг за другом называется знакочередующимся

Теорема (Признак Лейбница)

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит первого члена ряда.

Ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, называется рядом Лейбница или лейбницевским рядом. Он всегда сходится

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

№22. . №23. . №24. . №25. . №26. . №27. . №28.

Степенные ряды

Определение: Ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента, называется функциональным.

Ряд, записанный в виде

называется степенным

План нахождение области сходимости:

1. Найдем радиус сходимости по одной из формул или

2. Запишем интервал сходимости (-R: R),

3. Дополнительно исследуем сходимость заданного ряда в точках x =

4. Записываем область сходимости исходного ряда.

Замечание:

Если исследуем ряд, расположенных по степеням (x – x₀), где x₀ ≠ 0, общий вид которого

то

выполним замену x – x₀ = X, получим (1) и найдем область сходимости полученного ряда по плану, затем заменив X, найдем область сходимости исходного ряда

Найти область сходимости степенных рядов:

№29. . №30. . №31. .

№32. . №33. . №34. .

№35. . №36. . №37. .

№38. . №39. .

Разложить в ряд по степеням :

№40. №41. . №42. .

№43. . №44. . №45. .

№46. . №47. . №44. .

№45. . №46. . №47. .

Вопросы по теме «Ряды»

1. Основные понятия о числовых рядах. Свойства числовых рядов.

2. Ряд геометрической прогрессии.

3. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак сходимости ряда.

4. Гармонический ряд.

5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак Даламбера, признаки Коши.

6. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Следствия.

7. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

8. Функциональные ряды и область их сходимости.

9. Степенные ряды. Теорема Абеля.

10. Радиус область сходимости.

11. Свойства степенных рядов.

12. Ряд Тейлора.

13. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

14. Лемма о

15. Разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций

e^x, sinx, cosx, (1+x)^m, arctgx, ln(1 + x)