2. Формула Ньютона –Лейбница
,
где f(z) – аналитическая функция в области D, а z и z0 есть соответственно начальная и конечная точка пути интегрирования L.
Вычислить
33).
34).
,
35).
,
36).
,
37).
.
3. Теорема Коши для односвязной области
Если функция w = f ( z) - аналитическая в односвязной области D и на ее границе L, то, интеграл от f ( z) по L равен нулю:
.
Если функция w = f ( z) - аналитическая в многосвязной области D и на ее границе Г = L0 + L1 +…+ Ln , то справедливо равенство
-
где L0
– внешний контур; здесь все контуры
обходятся в одном направлении .
4. Интегральная формула Коши
Пусть w
= f(z)
аналитична в области D
и на ее границе L,
тогда для каждой точки
имеет место формула
.
При этом функция
имеет всюду в
производные любого порядка, для которых
справедливы формулы
Из этих формул можно выразить интегралы:
- интеграл
Коши
Следствие:
Вычислить следующие интегралы, пользуясь теоремой Коши, интегральной формулой Коши и формулами, полученными из интегральной формулы Коши дифференцированием.
Направление вдоль контура в этих задачах – против часовой стрелки.
38).
,
где
- окружность: а)
;
б)
.
39).
,
где
.
40).
,
где
а)
;
б)
.
41).
,
где
а)
;
б)
.
42).
,
где
.
43).
,
где
.
44).
,
где
а)
:
б)
.
45).
,
где
а)
;
б)
.
46).
,
где
а)
;
б)
.
Y. Особые точки. Вычеты.
1. Особые точки.
Точка
называется особой
точкой
функции
,
если функция не аналитична в этой точке;
и правильной, если в ней функция
аналитична.
Особая точка функции называется изолированной, если в окрестности этой точки функция не имеет других особых точек
Если
- изолированная особая точка функции
,
то в достаточно малом круге с выколотым
центром
функция
будет аналитической и, следовательно,
разлагается в ряд Лорана:
.
Изолированные особые точки бывают трех типов:
1) устранимые; 2) полюсы; 3) существенно особые точки.
Тип особых точек определяется либо по количеству членов в главной части ряда Лорана, либо по поведению функции в окрестности особой точки (см. таблицу 1).
2. Вычеты
Определение: Вычетом функции относительно точки называется число, определяемое равенством:
или
,
где
любой замкнутый контур, содержащий
;
аналитическая на
и в области, ограниченной
,
за исключением точки
;
- первый коэффициент главной части ряда
Лорана для функции
в окрестности точки
.
Формулы для вычетов относительно особых точек даны в таблице 1.
Таблица 1: Классификация особых точек и нахождение вычетов.
№ |
Особые точки |
Ряд Лорана с
главной частью |
Поведение в точке |
Формулы для
нахождения вычетов
|
1. |
Устранимая |
Нет главной части. |
|
|
2. |
Простой полюс
|
В главной части
одно слагаемое:
|
|
1)
|
3. |
Полюс кратности |
В главной части
|
|
|
4. |
Существенно - особая
|
В главной части бесконечно много слагаемых |
Не вуществует ( неопределен - – ность) |
Разложить в ряд Лорана, |
2)
слагаемых:
.
Теоремы о вычетах.
Теорема 1.
Если функция
аналитична в области
,
за исключением изолированных особых
точек
,
лежащих в этой области, то для любого
простого замкнутого контура
,
охватывающего точки
,
.
Теорема 2. Если
аналитическая во всей комплексной
плоскости, за исключением изолированных
особых точек
и
,
то
.
47). Найти особые точки и указать их характер (для полюсов определить их порядок)
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
48). Найти вычеты функций в их особых точках.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
49).
Найти
;
если а)
;
б)
;
в)
;
50).
Найти
,
где
;
51).
Вычислить
,
где
.
52).
Найти
,
где
.
53).
Вычислить интеграл
,
где
54).
Найти
,
где
;
55).
Найти
,
где
;
56).
Найти
,
если а)
;
б)
;
в)
;
57).
Вычислить
,
где
58).
Найти
,
где
