Тема № 4 Ряды Фурье Литература:

1. Мальцева С. Г. « Ряды Фурье»

2. Письменный Д. « Конспект лекций по высшей математике», т 2

3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2

1 Для интегрируемой на отрезке функции f(x) записывают

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Вид ряда Фурье:

где

;

2. Если периодическая функция периода 2π задана на отрезке , то ее ряд Фурье имеет вид

где

2. Если f(x) - четная функция

Четная функция f(x) заданная на отрезке симметричном относительно 0 разлагается в неполный ряд Фурье по косинусам, т. е.

где

2. Если f(x) - нечетная функция

Нечетная функция f(x), заданная на отрезке , симметричном относительно 0, разлагается в неполный ряд Фурье по синусам, т.е. в ряд вида

где

2. Ряд Фурье периодической функции с периодом 2l, заданной на отрезке имеет вид: где

2. Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

2. Разложение в ряд Фурье функций на отрезках и

Пусть F(x) непериодическая функция, заданная на отрезке И пусть она на этом отрезке удовлетворяет условиям Дирихле. Требуется разложить ее на данном отрезке в ряд Фурье. Продолжим функцию f(x) произвольным образом в интервале с сохранением условий Дирихле. Получим новую функцию F(x), определенную на отрезке и отвечающих в точках отрезка условиям Дирихле. Разложим F(x) на отрезке в ряд Фурье. Если полученное разложение взять только на отрезке оно будет искомым разложением, заданной функции f(x).

Самым простым является использование разложения по косинусам или синусам. Поэтому продолжать функцию f(x) в целесообразно либо четным или нечетным образом. Все сказанное имеет место и для f(x) на отрезке

Теорема Дирихле:

Если функция f(x) на отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезка

1. во внутренних точках непрерывности функции ряд сходится к самой функции, т. к. здесь f(x)= s(x)

2. В каждой внутренней точке разрыва x_k функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этой точке слева и справа, те S(x_k) =

3. В обеих граничных точках x = ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когда x стремится к ним изнутри т.е.

Разложить в ряд Фурье функции

1. , на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

2. , на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

3. 

4. Разложить функцию в ряд по синусам.

5. Разложить в ряд Фурье функцию

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, заданную на интервале : .

Тема 5:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)

Литература:

1. Королева Н. Н. «Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления»

2. Письменный Д. «Лекции по высшей математике», т 2