Тема № 3 Ряды

Литература:

1. Мальцева «Числовые ряды»

2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2

3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2 Знакоположительные ряды

Определение.

1. Числовым рядом называется выражение вида:

, где ;

2. Ряд задан, если известен закон по которому можно вычислить любой член ряда.

3. Конечная сумма n – первых членов называется частичной суммой ряда.

4. Ряд называется сходящимся, если существует конечный ;

6. Необходимый признак сходимости ряда

если ряд сходится, то ; обратное утверждение неверно.

7. Если или не существует, то ряд называется расходящимся

8. Ряд все члены которого либо положительные, либо отрицательные называется знакопостоянным.

9. Признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами

Дано: , - знакоположительные ряды, где при всех

1		Если все члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда, то если сходится второй ряд, то сходится и первый
2		Если все члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда, то если расходится второй ряд, то расходится и первый
3		Если существует, конечен и отличен от нуля., то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся

Эталонные ряды

	Название	Формула	Поведение
1	Ряд геометрической прогрессии
2	Гармонический ряд
3	Обобщенный гармонический ряд

Исследовать сходимость ряда № 1 - 13.

№1. . №2. . №3. . №4. .

№5. . №6.. №7. . №8. .

№9. . №10. . №11. .

№12. . №13. .

Определение: Знакопостоянный числовой ряд-это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо отрицательные числа.

№	Название	Формулировка	Примечание
1	Признак Д’Аламбера	Если у знакоположительного ряда существует и конечен , то, если , ряд сходится; если ,то ряд расходится. Замечание: Если , то ряд расходится	1.Применяется, если общий член ряда содержит слагаемым или множителем или , или их вариации 2. Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым
2	Радикальный признак Коши	Если у знакоположительного ряда существует и конечен , если , ряд сходится; если ,то ряд расходится	1. Применяется, если общий член ряда целиком является n – ой ( или n+1 – ой, 2n –ой…) степенью некоторого выражения 2. Если l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым
3	Интегральный признак Коши	Если функция - непрерывная, положительная, убывающая при и , то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.	1. Применяется, когда общий член порождает функцию , первообразная которой находится без особого труда

Примерный план исследования знакоположительного ряда:

1. Определить вид ряда.

2. Находят (если это не трудно) :

а) если , то ряд расходится

б) если , то продолжаем исследование.

3. Устанавливаем путем анализа формулы общего члена какой из признаков целесообразнее применить, перебирая признаки в следующем порядке:

а) признак Д’Аламбера

б) радикальный признак Коши

в) интегральный признак Коши

г) признаки сравнения

4. Исследуем сходимость ряда по данному признаку

Степень роста выражений при

1.

2.

3. ,

4. ,

5. ,

Исследовать на сходимость №№ 14 – 18.

№14. . №15. . №16. . №17. .

№18. . №19. №20. №21.