
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Найти общее решение или общий интеграл уравнения
- •I.Вопросы по теме « Дифференциальные уравнения первого порядка»
- •Знать с доказательством:
- •2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •Б). Лнду вида
- •Метод Лагранжа
- •Решить лнду методом Лагранжа
- •II. Вопросы по теме:
- •III.Системы дифференциальных уравнений
- •1. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •III. Вопросы по теме: « Системы дифференциальных уравнений»
- •1. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •Градиент
- •Найти градиент скалярного поля
- •Поток вектора
- •Дивергенция
- •Найти дивергенцию векторного поля
- •Циркуляция
- •Тема № 3 Ряды
- •2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2 Знакоположительные ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды
- •План нахождение области сходимости:
- •Тема № 4 Ряды Фурье Литература:
- •3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •Тема 5:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
- •Комплексные числа (повторение)
- •2) Тригонометрическая форма
- •3) Показательная форма комплексного числа
- •II. Функция комплексного переменного
- •2. Формула Ньютона –Лейбница
- •3. Теорема Коши для односвязной области
- •4. Интегральная формула Коши
- •1. Особые точки.
- •2. Вычеты
- •Вопросы по теме:
- •Тема 6: Операционные исчисления
- •2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
- •1. Оригиналы и их изображения
- •Нахождение оригинала по изображению
- •2. Применение преобразования Лапласа к интегрированию линейных неоднородных дифференциальных уравнений
- •Вопросы по теме:
Тема № 3 Ряды
Литература:
Мальцева «Числовые ряды»
2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2 Знакоположительные ряды
Определение.
1. Числовым рядом называется выражение вида:
,
где
;
2. Ряд задан, если известен закон по которому можно вычислить любой член ряда.
3. Конечная сумма n – первых членов называется частичной суммой ряда.
4.
Ряд
называется сходящимся,
если существует конечный
;
6. Необходимый признак сходимости ряда
если
ряд
сходится, то
;
обратное утверждение неверно.
7.
Если
или не существует, то ряд называется
расходящимся
8. Ряд все члены которого либо положительные, либо отрицательные называется знакопостоянным.
9. Признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами
Дано:
,
- знакоположительные ряды, где
при всех
1 |
|
Если все члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда, то если сходится второй ряд, то сходится и первый |
2 |
|
Если все члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда, то если расходится второй ряд, то расходится и первый |
3 |
|
Если
|
Эталонные ряды
|
Название |
Формула |
Поведение |
1 |
Ряд геометрической прогрессии |
|
|
2 |
Гармонический ряд |
|
|
3 |
Обобщенный гармонический ряд |
|
|
Исследовать сходимость ряда № 1 - 13.
№1.
.
№2.
. №3.
. №4.
.
№5.
.
№6..
№7.
. №8.
.
№9.
.
№10.
. №11.
.
№12.
.
№13.
.
Определение: Знакопостоянный числовой ряд-это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо отрицательные числа.
№ |
Название |
Формулировка |
Примечание |
1 |
Признак Д’Аламбера
|
Если
у знакоположительного ряда
существует
и конечен
если
Замечание:
Если
|
1.Применяется,
если общий член ряда содержит слагаемым
или множителем
2.
Если
|
2 |
Радикальный признак Коши |
Если
у знакоположительного ряда
существует
и конечен
если ,то ряд расходится |
1. Применяется, если общий член ряда целиком является n – ой ( или n+1 – ой, 2n –ой…) степенью некоторого выражения 2. Если l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым |
3 |
Интегральный признак Коши |
Если
функция
|
1.
Применяется, когда общий член
|
Примерный план исследования знакоположительного ряда:
1. Определить вид ряда.
2.
Находят (если это не трудно)
:
а) если
,
то ряд расходится
б) если , то продолжаем исследование.
3. Устанавливаем путем анализа формулы общего члена какой из признаков целесообразнее применить, перебирая признаки в следующем порядке:
а) признак Д’Аламбера
б) радикальный признак Коши
в) интегральный признак Коши
г) признаки сравнения
4. Исследуем сходимость ряда по данному признаку
Степень роста
выражений при
1.
2.
3.
,
4.
,
5.
,
Исследовать на сходимость №№ 14 – 18.
№14.
. №15.
. №16.
. №17.
.
№18.
.
№19.
№20.
№21.