Градиент

Определение:

Вектор, координатами которого являются значения частных производных первого порядка функции U(x,y,z) в точке M(x,y;z), называют градиентом

функции и обозначают gradU, т. е. gradU = или

gradU =

Найти градиент скалярного поля

8. в точке .

9. в точке .

10. в точке .

11. , где , .

12. Найти угол между градиентами функции а точках и .

13. Найти точку, в которой градиент функции равен

14. Найти величину и направление градиента поля в точке .

15. По какому направлению в точке скалярное поле изменяется быстрее всего и, какова максимальная скорость этого изменения?

Поток вектора

Определение: Потоком вектора а через поверхность σ называется поверхностный интеграл по площади этой поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

(1) – формула для решения задач

Рассмотрим поток вектора (М) через замкнутую поверхность σ

(2)

16. Вычислить поток вектора изнутри поверхности куба, ограниченного плоскостями .

17. Вычислить поток данного векторного поля изнутри замкнутой поверхности .

18. Найти поток векторного поля через боковую положительную сторону поверхности пирамиды с вершиной в точке , основанием которой служит треугольник с вершинами

19. Вычислить поток вектора изнутри полной поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями .

20. Найти поток радиус-вектора через верхнюю часть плоскости заключенную в первом октанте.

21. Найти поток вектора через верхнюю часть плоскости , лежащей в первом октанте

Дивергенция

Определение

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

{М) = Р{х\ у; z)l + Q{x\ y\ z)j + R(x\ у; z)k

в точке М называется скаляр вида и обозначается символом

div (М),

div (М) =

Найти дивергенцию векторного поля

22. . 23. ..

24. . 25. .

26. . 27. , где - радиус-вектор.

28. Найти дивергенцию поля градиента функции .

29. Найти , где , .

Циркуляция

Определение: Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного

произведения вектора на вектор dr, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L

(1)

Другие формулы: (2) – для решения задач

30. Найти циркуляцию вектора в положительном направлении вдоль замкнутой кривой, образованной осями координат и первой четвертью астроиды .

31. Найти циркуляцию вектора в положительном направлении по замкнутой, составленной из верхней половины эллипса и отрезка оси .

32. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру , образованному пересечением поверхности с плоскостями координат.

33. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль периметра треугольника с вершинами .

34. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура , являющегося линией пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Ротор

Определение:

Ротором векторного поля называется вектор вида

Ротор удобно находить с помощью символического вектора

Найти ротор векторного поля

35. . 36. .

37. 38. .

39. . 40. .

Основные вопросы по теме:

«Элементы теории поля»

1. Векторная функция скалярного аргумента

2. Скалярное поле. Линии и поверхности поля.

3. Производная по направлению Вывод формулы

4. Градиент и его свойства

5. Векторное поле. Виды векторных полей.

6. Векторные линии и их уравнения.

7. Поток вектора и его различные формы записи. Физический смысл потока.

8. Поток вектора через замкнутую поверхность.

9. Дивергенция и ее свойства.

10.Формула Остроградского в векторной форме. Физический смысл дивергенции

11.Циркуляция векторного поля и ее различные формы записи. Физический смысл циркуляции.

12. Потенциальные поля и их свойства.

13.Ротор и его свойства. Формула Стокса в векторной форме.

14. Векторные дифференциальные операции.