§21. Полярна система координат

Н айбільш важливою після прямокутної системи координат є полярна система координат. До цього положення точки на площині ми визначали двома числами (координатами) в прямокутній системі координат, але це можна однозначно визначити за допомогою полярної системи координат. Вона складається із деякої точки , яка називається полюсом і променя , який виходить із цієї точки, який називається полярною віссю (мал. 66). Крім цього задається одиниця масштабу.

Нехай точка М довільна точка площини, а віддаль цієї точки від точки , а це кут, на який потрібно повернути полярну вісь для суміщення з променем .

Полярними координатами точки називаються числа і . Число вважається першою координатою і називається полярним радіусом, а число - другою координатою і називається полярним кутом. Точка з полярними координатами позначається так

Полярний радіус може змінюватися в межах: , а полярний кут в межах: при цьому відлік полярного кута проводиться від полярної осі проти годинникової стрілки.

Між координатами точки у полярній системі координат та її координати в декартовій системі існує простий зв’язок.

В ізьмемо вісь декартової системи координат за полярну вісї полярної системи, а початок декартової системи приймемо за полюс полярної системи координат. Нехай точка має прямокутні координати x та y і полярні координати та (мал.67). Як видно з мал.67, маємо

(2.149)

Формули (2.149) виражають прямокутні координати через полярні.

Якщо піднести до квадрату обидві частини рівностей (2.149) і додати, то одержимо або Якщо ж поділити другу рівність на першу в (2.149), то дістанемо .