15 Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи

Необхідною умовою працездатності імпульсної системи є її стійкість. Відомі з попередніх лекцій основні визначення стійкості безупинних систем застосовні і до імпульсних систем, але з урахуванням ряду особливостей цих систем.

Звернемося до основного формулювання умови стійкості: імпульсна система стійка, якщо її власний рух з часом загасає.

Як уже відзначалося, на практиці часто обмежуються визначенням дискретної функції X_ВИХ(n) на виході системи. Це рішення можна одержати, наприклад, з формули (14.4) у вигляді суми вільної і змушеної складової:

Таким чином, умову стійкості системи варто записати так:

Оцінку стійкості імпульсної системи, як і безупинної, звичайно роблять на підставі дослідження характеристичного рівняння замкнутої системи, яке одержують з (14.3):

(15.1)

Це алгебраїчне рівняння має m коренів z_i на площині z. Але, оскільки перемінна z з'явилася в зв'язку з підстановкою , то кожен корінь z_i зв'язаний з коренями p_i на площині p залежністю

Легко помітити, що нульовому кореню, наприклад, p₁=0, відповідає корінь z_i=1, а кореням p_t з негативними дійсними частинами відповідають корені:

Тепер можна дати формулювання математичної умови стійкості: імпульсна автоматична система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння (15.1) лежать усередині кола одиничного радіуса, побудованого на початку координат комплексної площини z (рис. 15.1, точки z₁,, z₂,,z₃, z₄, z₅ ).

Якщо хоча б один з коренів лежить на колі з радіусом R = 1, то система знаходиться на межі стійкості (рис. 15.1, точка z₆).

За наявності коренів система хитлива (рис. 15.1, точка z₇).

Рисунок 15.1 – Комплексна площина Z

Визначення коренів характеристичного рівняння (15.1) при m  3 поєднано з відомими труднощами. Тому на практиці знаходять застосування непрямі оцінки — критерії якості, що дозволяють оцінювати стійкість імпульсних систем без визначення коренів.

До імпульсних систем можна застосувати кожен з відомих критеріїв стійкості безупинних систем. Однак для цього попередньо необхідно зробити білінійне перетворення полінома М(z) у поліном М() за формулою

. (15.2)

Таке перетворення дозволяє відобразити одиничне коло площини Z (рис. 15.1) у ліву частину комплексної площини p, аналогічну області стійкості безупинних систем на площині p.

До характеристичного рівняння М() = 0, що також має порядок т, застосовні алгебраїчні критерії стійкості І. А. Вишнєградского і Гурвіца. Оцінимо стійкість двох конкретних систем.

Приклад 1. Імпульсна система першого порядку має характеристичне рівняння

.

Після підстановки (14.8) одержимо

або

Система першого порядку стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:

.

Досліджуємо стійкість імпульсної системи з передатною функцією (14.6) (рис.14.1).

Характеристичні рівняння цієї системи

Звідси одержуємо дві умови стійкості:

.

Друга умова розкриває важливу властивість досліджуваного класу систем: стійкість імпульсної системи залежить не тільки від загального коефіцієнта передачі в розімкнутому стані k_v, як це має місце і у безупинних системах, але і від періоду дискретності Т: чим більше Т, тим складніше забезпечити стійкість системи, при незмінному k_v..

Приклад 2. Характеристичне рівняння імпульсної системи другого порядку

Після переходу до перемінного  одержуємо

Система стійка, якщо коефіцієнти її характеристичного рівняння позитивні:

Ці три нерівності дозволяють оцінити стійкість імпульсної системи.

Досліджують стійкість систем третього і вищих порядків за допомогою критерію Гурвіца.

Контрольні запитання

1. Як формулюється умова стійкості імпульсної системи?

2. Який математичний вираз служить вихідним для оцінки стійкості імпульсної системи?

3. У чому полягає практичний метод визначення стійкості імпульсної системи?