4 Математичний опис автоматичних систем

Будь-яка система радіоавтоматики (РА) складається з ряду елементів (ланок). Для кожного елемента характерний зв'язок між його входом і виходом. Він виражається диференціальним рівнянням. Система РА описується системою диференціальних рівнянь.

4.1 Складання диференціального рівняння елемента автоматичної системи

Конкретний вид диференціального рівняння залежить від фізичної природи і властивостей елемента.

Розглянемо як приклад інерційну RC- ланку (рис. 4.1):

Рисунок 4.1 – Схема інерційної ланки

Якщо визначити х та y як відповідно вхідну і вихідну напруги цієї ланки, то згідно з теорією електричних кіл можна записати таке рівняння:

З урахуванням того, що отримаємо таке рівняння:

Позначимо RC=T, тоді можна записати:

Уведемо до розгляду символ диференціювання за часом Цей штучний (але по суті вірний) прийом дозволяє переписати отримане диференційне рівняння у формі: Винесемо вихідну напругу y за дужки і остаточно отримаємо: .

Відзначимо, що вираз називається операторним коефіцієнтом передачі інерційної (у даному випадку) ланки.

4.2 Статичні і динамічні властивості елементів

Після подачі на вхід елемента деякого впливу на його виході виникає перехідний процес, по закінченні якого настає стаціонарний стан.

Статична характеристика - це залежність, що зв'язує між собою стаціонарні вхідну і вихідну величини.

Прикладом статичної характеристики може служити залежність між напругою на виході частотного дискримінатора і відхиленням частоти сигналу від його номінального значення (рис.4.2).

Рисунок 4.2 – Статична характеристика дискримінатора

Динамічна характеристика - це залежність, що зв'язує між собою зміни вхідної і вихідної величин у перехідному режимі.

4.3 Перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа має дві взаємозалежні форми – пряму і зворотну.

Пряме перетворення описується так:

де x(t) – оригінал функції, тобто функційна залежність у часовому вимірі;

x(p) – зображення функції x(t) за Лапласом, тобто у вимірі комплексної змінної .

Зворотне перетворення вводиться у розгляд так:

що дозволяє відшукати оригінал функції x(t) по її зображенню X(p).

Існують такі методи відшукання оригіналу x(t): табличний та метод інтегрування у комплексній площині.

Глибинний сенс перетворення Лапласа полягає у тому, що за його допомогою стає можливим здійснити перехід від вихідних диференційних рівнянь, що описують систему РА у просторі комплексної змінної р .

На рис. 4.3 наведено загальну структурну схему ланки системи РА, яка описується коефіцієнтом передачі R(p). На цьому рисунку G(p) та x(p) – відповідно сигнали у операторній формі на вході і виході ланки.