13 Дискретне перетворення лапласа і

Z – ПЕРЕТВОРЕННЯ

Зручним для рішення різницевих рівнянь є операційний метод, заснований на дискретному перетворенні Лапласа, що є узагальненням звичайного перетворення Лапласа на дискретні функції (сигнали).

Звичайне пряме перетворення

, (13.1)

де x(t) – безупинна функція – оригінал, Х(р) – зображення.

Як відомо, імпульсний сигнал на виході найпростішого імпульсного елемента можна подати у вигляді промодульованої послідовності дельта-функцій:

(13.2)

Отже, кожна ордината дискретної функції є  – функцією, площа якої визначається функцією Х(пТ). Тільки в цьому існує формальне розходження між функціями X*(t) і Х(пТ). Але без нього неможливо ввести поняття, зв'язані з зображеннями дискретних сигналів.

Зображення сигналу x*(t) у смислі дискретного перетворення Лапласа визначається за формулою

(13.3)

де x*(i) – оригінал; Х*(р) – зображення.

Як видно з цієї формули, дискретне перетворення установлює функціональний зв'язок між дискретними функціями (сигналами) і їхніми зображеннями. Неважко помітити аналогію між виразами (13.1) і (13.2). Інтегралу з нескінченною межею відповідає нескінченна сума, безупинному аргументу t – дискретний аргумент пТ , а безупинній функції x(t) – дискретна функція х(пТ). Отже вираз (13.3) є сумою зображень усіх  - функцій, що входять у формулу (13.2). Під знак суми необхідно ставити відповідну дискретну функцію х(пТ).

Дуже зручним на практиці виявилося Z - перетворення, що виходить з дискретного перетворення Лапласа шляхом підстановки :

,

де х(пТ) – оригінал; X(z) – зображення в смислі Z- перетворення.

Розглянемо два приклади визначення зображень дискретних функцій.

1. Потрібно визначити зображення одиничної східчастої дискретної функції

Відповідно до формули (13.2) маємо

Z-перетворення цієї функції .

2. Дано експонентну функцію . Знайдемо її зображення:

У довідковій літературі по автоматиці містяться великі таблиці дискретного перетворення Лапласа і Z - перетворення. У таблиці наведені зображення функцій, які часто зустрічаються.

Таблиця 13.1 – Зображення функцій часу, які часто зустрічаються

X(t)	X(p)	X(nT)	X(z)
(t)	1	(nT)	1
(t-kT)	e-kTp	(nT-kT)	z-k
1(t)		1(nT)

Продовження таблиці 13.1
t		nT
e-at		e-anT
e-at		eanT
1-e-at		1-e-anT

Отже, зображення дискретних функцій є функціями e^рτ а не p, як це має місце в звичайному перетворенні Лапласа. У зв'язку з цим виникла необхідність переходу до аргументу z=e^рτ, що є періодичною функцією частоти. Тому дискретні зображення і частотні спектри дискретних функцій також є періодичними функціями частоти з періодом 2т.

Контрольні запитання

1. Чим відрізняється дискретне перетворення Лапласа від звичайного перетворення Лапласа?

2. Як одержують Z-зображення функцій часу?

3. Що дає розроблювачу чи досліднику автоматичних систем використання звичайного і дискретного перетворень Лапласа і Z-перетворення?