- •Диаграмма усталостной прочности
- •Расчет коэффициентов запаса усталостной прочности
- •Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
- •Колебания системы с одной степенью свободы
- •Определение напряжений при колебаниях. Резонанс
- •Степень свободы колеблющейся системы
- •Собственные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы
- •Приближенные методы определения низших частот собственных колебаний упругих систем
- •Удар по конструкции вертикально движущимся телом
- •Расчет на прочность при нерегулярной переменной нагруженности
- •Пример 3.
- •Вопросы для самопроверки
Удар по конструкции вертикально движущимся телом
Для наглядности рассмотрим не произвольную упругую систему, а тяжелую балку (рис. 15.44, а), на которую с высоты падает груз массой . Выберем у балки точку , в которой происходит удар, за точку приведения массы и заменим балку с распределенной массой ( - вес единицы длины балки, - ускорение свободного падения) балкой с одной приведенной массой (рис.15.44, б), т.е. заменим упругую систему с бесконечным числом степеней свободы на систему с одной степенью свободы. Обозначим через:
(15.132)
статический прогиб балки, соответствующий точке в системе с приведённой массой, жёсткость балки.
Пусть - скорость падающего тела в момент удара, а - скорость приведённой массы и «прилипшего» к нему падающего тела сразу после удара. Если груз падает с высоты , то . Из условия сохранения количества движения системы имеем:
откуда
(15.133)
Рис. 15.44
Скорость будет, с другой стороны, начальной скоростью объединенной массы в ее колебательном движении после удара (2-й этап).
Пусть статический прогиб балки в точке от веса падающего груза , т.е.
(15.134)
Тогда полный статический прогиб:
(15.135)
После удара начнётся колебательное движение упругой системы. По закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии системы при максимальном отклонении от статического положения равновесия перейдёт в потенциальную энергию деформации упругой системы:
,
где динамическое перемещение после удара,
,
т.к. по закону Гука; – жёсткость упругой системы.
В результате получаем уравнение:
или, с учётом (15.133) – (15.135):
Решая полученное квадратное уравнение, находим:
где
(15.136)
динамический коэффициент.
В частности при внезапном ударе ( ) имеем .
Можно иначе определить динамический коэффициент. Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы после удара будет:
или
(15.137)
где
(15.138)
Решением уравнения (15.137) будет:
(15.139)
где
Закон движения (15.139) представлен на рис. 15.45.
Рис. 15.45
Начальные условия колебательного движения системы после удара
при (15.140)
Удовлетворяя решение (15.140) этим условиям, найдем:
или
откуда находим:
(15.141)
Найдем теперь максимальное отклонение системы от исходного состояния в ее колебательном движении:
(15.142)
Соотношение (15.142) можно записать
(15.143)
где
(15.144)
коэффициент динамичности. Он показывает во сколько раз прогиб от удара больше прогиба при статическом приложении того же груза.
Если , то ,
В этом случае динамический коэффициент (105.144) принимает вид:
(15.145)
Выражение (15.144) совпадает с (15.136) при
По закону Гука
Следовательно, максимальное напряжение
(15.146)
где напряжение в балке до удара груза , - статическое напряжение от груза При имеем
Удар по конструкции горизонтально движущимся телом
Рассмотрим теперь удар по конструкции горизонтально движущимся со скоростью телом с массой (рис. 15.46).
В этом случае
а) б)
Рис. 15.46
(15.147)
(15.148)
Закон движения:
представлен на рис. 15.46,б.
Зная можно всегда найти в упругой системе возникающие динамические напряжения.
Продольные колебания стержня
Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 15.47), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.
Рис. 15.47
Пусть - плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной равна:
(15.149)
Осевое перемещение сечения:
является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения и времени .
Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:
или, с учётом (15.149),
(15.150)
Поскольку
(15.151)
то, исключив с помощью (15.151) из (15.150) усилие , находим уравнение:
(15.152)
где
(15.153)
Уравнение (15.152) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина называется скоростью распространения упругой волны. Для стали = 4900 м/с, для алюминия = 5100 м/с.
Решение уравнения (15.152) ищем в виде:
(15.154)
Подставляя (15.154) в (15.152), получим:
(15.155)
или, после разделения переменных:
откуда для функций , получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:
(15.156)
(15.157)
Общий интеграл уравнения (15.156):
(15.158)
откуда видно, что - это круговая частота свободных колебаний.
Общий интеграл уравнения (15.157) имеет вид:
(15.159)
Постоянные , находятся из граничных условий на концах стержня.
Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.15.48,а).
а) б)
Рис. 15.48
При имеем , а при имеем
Тогда получаем:
(15.160)
Если , то колебания отсутствуют. Если , то и тогда:
(15.161)
Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при :
(15.162)
Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы (рис.15.48, б). На закрепленном конце при по-прежнему имеем , из (15.159) следует .
На свободном конце с прикрепленной массой на основании принципа Даламбера имеем:
(15.163)
или с учетом (15.104), (15.156):
(15.164)
Подставляя (15.159) при в граничное условие (15.164), находим:
(15.165)
Если , никаких колебаний нет. Если то колебания есть. Для удовлетворения условия (15.165) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:
(15.166)
где через обозначена масса стержня. Решение уравнения (15.166) можно найти графически (рис. 15.49). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:
Рис. 15.49
(15.167)
При малых частотах, когда малая величина, уравнение (15.166) упрощается:
(15.168)
откуда следует:
(15.169)
Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня можно пренебречь по сравнению с массой груза.
Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении в уравнении (15.166) два слагаемых:
Тогда получим:
откуда
(15.170)
При больших значениях гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от Следовательно,
Поперечные колебания стержня
Рассмотрим поперечные колебания балки постоянного сечения с площадью F (рис. 15.50).
Рис. 15.50
Участок балки длиной имеет массу где - плотность материала. Воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки четвертого порядка статической задачи:
(15.171)
При рассмотрении динамической задачи мы должны считать, что прогиб является функцией двух переменных и . Нагрузка также должна зависеть от координаты и времени . Учитывая только инерционную силу и используя принцип Даламбера, вместо (15.171) получаем дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки:
(15.172)
Как и в случае продольных колебаний, решение задачи ищем в виде:
(15.173)
Можно считать Тогда после подстановки (15.173) в (15.172), получим уравнение
(15.174)
где
(15.175)
Решение уравнения (15.174) имеет вид
(15.176)
Постоянные А, В, С, D находим из граничных условий на опорах:
при ,
при . (15.177)
Из первых двух условий имеем . Из двух других находим:
(15.178)
Приравнивая нулю определитель системы уравнений (15.178), получим:
(15.179)
Так как только при , то остаётся принять:
или, согласно (15.175),
(15.180)
Из (15.178) при и следует . Таким образом, при изгибных колебаниях балки образуется бесконечное число частот собственных колебаний, пропорциональных , где – число полуволн изогнутой оси балки. Прогибы балки:
(15.181)
При колебаниях в основном тоне балка изгибается по одной полуволне ( ). При имеем две полуволны, при – три (рис. 15.50).
Колебания балки в основном тоне ( ) можно использовать для определения динамического модуля упругости материала, из которого изготовлена балка. Из (15.180) получаем:
(15.182)
где - частота колебаний.