Лекция 15 (продолжение). Примеры решения на динамические нагрузки и задачи для самостоятельного решения

Инерционные нагрузки

Пример 1.

Проверить прочность стального каната, с помощью которого поднимается вверх кабина лифта с ускорением а = 5 м/сек². Масса кабины m_к = 500 кг, длина каната l = 50 м, диаметр d = 4 см. Характеристики материала каната: плотность = 7,75 г/см³, допускаемое нормальное напряжение R_adm = 30 МПа (см. рис.).

Решение.

Составив условие динамического равновесия в виде , определим наибольшее продольное усилие в канате:

где А – площадь поперечного сечения каната.

Максимальное динамическое напряжение будет равно

= 11,64 МПа.

Условие прочности для каната выполняется.

Пример 2.

Проверить прочность горизонтального бруса, поднимаемого вверх силой F, приложенной посередине бруса, с ускорением а, равным 2g (рис.1, а). Брус квадратного поперечного сечения со стороной а₁ = 5 см, длина бруса l = 2 м. Характеристики материала бруса: плотность = 2,8 г/см³ , допускаемое нормальное напряжение R_adm = 100 МПа.

Решение.

Рассчитаем интенсивность равномерно распределенной статической нагрузки, вызванной силой веса

Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки равна

= 206 Н/м.

Определяем интенсивность суммарной распределенной нагрузки

Величину сосредоточенной силы F определим из условия динамического равновесия бруса

Эпюры интенсивностей нагрузок q, p_i показаны на рис. 1, б, в, эпюры интенсивности суммарной нагрузки , поперечной силы Q и изгибающего момента М – на рис. 2.

Максимальный момент будет

Осевой момент сопротивления квадратного сечения равен

Определяем максимальное динамическое напряжение

Условие прочности для бруса выполняется.

Пример 3.

Стальной горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 0,6 м равномерно вращается с постоянной угловой скоростью n = 1000 об/мин вокруг вертикальной оси I – I (рис. а).

Определить наибольшее нормальное растягивающее напряжение в стержне, если плотность его материала = 7,75 г/см³.

Решение.

Рассчитаем интенсивность сил инерции в стержне (т.е. силу инерции, отнесенную к единице длины), учитывая, что она равна массе участка единичной длины, умноженной на нормальное ускорение а_n , т.е.

,

или, принимая во внимание, что

получаем Эпюра p_i показана на рис. б.

Продольная растягивающая сила N в сечении, расположенном на расстоянии x от оси вращения, равна площади эпюры р_i на участке от сечения до конца стержня, т.е. в рассматриваемой задаче – это площадь трапеции:

Эпюра N показана на рис. в. Наибольшее значение продольной силы будет

Определяем наибольшее растягивающее напряжение

Пример 4.

Стержневая система, показанная на рис. а, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси АВС. Построить эпюру изгибающих моментов М_и от действия инерционных сил и определить допустимое по прочности число оборотов в минуту, если плотность материала стержней = 7,75 г/см³, а допускаемое нормальное напряжение R_adm =160 МПа. Поперечные сечения стержней круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м.

Решение.

Определяем интенсивность сил инерции р_i в отдельных стержнях.

Участок АВС. Силы инерции отдельных частиц стержня взаимно уравновешиваются и изгиба не вызывают; таким образом р_i^АВС = 0;

Участок СD. Силы инерции направлены вдоль оси стержня. На расстоянии x от оси вращения интенсивность их будет равна

т.е. при x = 0 имеем а при x = а получаем Обозначим буквой q интенсивность сил инерции в точке х = а, т.е.

Участок DЕ. Так как этот участок параллелен оси вращения, то интенсивность сил инерции на нем будет постоянна и равна

р_i^DE = q = const.

Эпюры инерционных сил, действующих на рассматриваемую систему, показаны на рис. б.

Далее определяем изгибающие моменты и строим эпюру М_и. На участке DE эпюра М_и – парабола, на участке DC – прямая, параллельная стержню CD, на участке СB – наклонная прямая и на участке АВ также наклонная прямая (рис. в).

У к а з а н и е. Равнодействующая распределенной вдоль стержня CD инерционной нагрузки p_i равна площади эпюры p_i, т.е. в данном случае площади треугольника (R = aq/2).

Из эпюры М_и видно, что максимальное значение изгибающего момента будет в сечении В

Запишем условие прочности в виде где осевой момент сопротивления круглого поперечного сечения подсчитываем по формуле W_z = 0,1d ³.

Таким образом, условие прочности имеет вид

или

откуда находим допускаемую угловую скорость в рад/сек

и допускаемое число оборотов в минуту

Пример 5.

Маховик с радиусом инерции массы i = 600 мм и массой т =200 кг (см. рис.) вращается с угловой скоростью =75,4 рад/с. При торможении с равномерным замедлением маховик останавливается через 20 оборотов. Определить максимальное касательное напряжение в вале диаметром d = 50 мм, на котором посажен маховик

Решение.

При равнозамедленном движении угловое ускорение (замедление) маховика

Крутящий момент ,

Касательное напряжение

Здесь .

Пример 6.

Стальной диск диаметром D =250 мм и толщиной h =50 мм установлен на валу диаметром d =50 мм и длиной l = 1000 мм (см. рис.) и вращается с частотой n = 600 мин^-1. Определить наибольшие напряжения в вале при внезапном торможении правого его конца.

Решение.

Масса диска (маховика) ,

момент инерции массы

Динамический момент ,

Касательное напряжение ;

Полярный момент инерции ;

Полярный момент сопротивления .

Подставляя значения, получим

.

Упругий удар

Пример 7.

Груз весом Р = 2 кН, скользя без трения вдоль стального бруса, падает на приваренную к нему жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса. Площадь поперечного сечения бруса А = 0,0005 м² (рис. а), его длина l = 1,8 м, модуль продольной упругости материала бруса Е =2·10⁵ МПа; высота падения груза Н равна 0,02 м.

Требуется определить максимальное нормальное напряжение в брусе в момент его наибольшей деформации. Собственной массой стального бруса, испытывающего удар, пренебречь.

Решение.

Определим величину (рис. б)

Рассчитываем динамический коэффициент, используя формулу

Определяем статическое нормальное напряжение

Находим максимальное динамическое напряжение

.

Пример 8.

Груз весом Р = 200 Н падает с высоты Н = 0,3 м посередине на шарнирно опертую двухопорную деревянную балку квадратного поперечного сечения со стороной а = 15 см и длиной l = 3 м. Рассчитать запас прочности балки, если модуль продольной упругости материала балки Е = 10⁴ МПа, а предел прочности при расчете на изгиб R_И = 20 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Решение.

Проводим статический расчет, т.е. определяем максимальное напряжение и перемещение в серединном сечении балки при нагружении ее статической сосредоточенной силой Р = 200 Н.

Максимальный изгибающий момент равен

Статический момент площади сечения равен

Определяем максимальное нормальное статическое напряжение

Статическое перемещение посередине балки определяем по известной из теории изгиба формуле

Рассчитываем динамический коэффициент

Находим динамическое напряжение

МПа.

Запас прочности равен

Пример 9.

Для заданной упругой системы определить:

- максимальные напряжения, возникающие при ударе об нее груза , падающего с высоты ;

- величину перемещения в направлении удара в том сечении, в котором прикладывается ударная нагрузка в направлении удара.

Материал упругой системы: Сталь ( ). Массой упругой системы пренебречь. Рычаг в заданиях на скручивающий удар считать абсолютно жестким.

Решение.

Рассмотрим различные примеры ударного нагружения.

Осевое действие ударной нагрузки.

Пусть на ступенчатый стержень квадратного поперечного сечения с высоты падает груз .

Стороны квадратного сечения: ; .

Длины участков

Динамические напряжения в стальном стержне определяются по формуле

,

где - напряжение, возникающее в материале стержня при воздействии на стержень статически приложенной нагрузки в месте удара.

- коэффициент динамичности.

При статическом приложении нагрузки в месте удара в любом сечении стержня будет возникать продольная сила

.

При этом максимальное напряжение будет в сечениях с меньшей площадью поперечного сечения, т. е. в любом сечении участка с длиной , для которого сторона квадратного сечения равна .

Знак минус указывает на сжимающее нормальное напряжение.

Коэффициент динамичности зависит от высоты падения груза и статической деформации

Статическая деформация будет складываться из деформаций участков

Максимальное динамическое напряжение

Динамическая деформация сечения, в котором прикладывается ударная нагрузка

Скручивающий удар.

Пусть стержень, длиной и диаметром , испытывает скручивающий удар от нагрузки , падающей с высоты на абсолютно жесткий рычаг длиной . Определим максимальное напряжение и величину перемещения сечения в месте приложения ударной нагрузки.

Предварительно определим статические значения напряжения и перемещения.

Пренебрегая деформацией рычага и полагая, что вследствие малости перемещения проекция на вертикаль перемещения точки соударения равна длине дуги с радиусом , можно вычислить по формуле

,

где - модуль сдвига . Принимаем ;

- полярный момент инерции. Для круглого поперечного сечения

Коэффициент динамичности

Максимальное статическое напряжение при действии закручивающего момента

.

- полярный момент сопротивления. Для круглого поперечного сечения

Динамическое напряжение

Динамическое перемещение

Изгибающий удар.

Пусть на свободный конец консольной балки длиной прямоугольного поперечного сечения с шириной сечения и высотой сечения падает груз с высоты .

Определим максимальное напряжение и величину перемещения сечения в месте приложения ударной нагрузки.

Статическое перемещение определим способом Верещагина

Коэффициент динамичности

Максимальное статическое напряжение будет возникать в опорном сечении

Динамическое напряжение

Динамическое перемещение

Пример 10.

Стальной стержень диаметром d = 20 мм и длиной l = 1 м растягивается падающим с высоты Н = 200 мм грузом массой m = 12,5 кг (см. рис.). Определить динамические напряжение и деформацию. Как изменятся их значения при замене материала стержня на дюралюмин, модуль упругости которого МПа?

Решение.

Динамическое напряжение , где статическое напряжение

.

Вес груза ,

Статическое напряжение .

Коэффициент динамичности (без учета собственной массы стержня), где статическая деформация

.

Коэффициент динамичности

Для жесткого стержня единицами в формуле можно было бы пренебречь.

Динамическое напряжение .

Для дюралюминиевого стержня

,

.

Таким образом, замена материала позволяет снизить напряжения в 1,69 раза.

Пример 11.

Для данной схемы определить максимальные ударные напряжения и максимальный прогиб, если масса падающего груза m = 50 кг, высота падения h = 40 мм, сечение балки – двутавр № 14: W_X = 81,7 см³, I_X = = 572 см⁴, материал балки – сталь.

Решение.

Определяем опорные реакции

;

;

Проверка:

;

- верно

Определяем статический прогиб балки

Прогиб балки определим по методу начальных параметров.

Составляем уравнение прогибов для точки С

Определяем начальные параметры

. Для нахождения составим уравнение прогибов для точки В, приравняв его к нулю, найдем искомую величину.

Находим прогиб в точке С

Определяем ударный коэффициент

Определяем напряжения в балке от статического действия нагрузки

Изгибающий момент будет иметь максимальное значение в точке С (см. рис.), а его величина определится по формуле:

Тогда напряжения в точке С:

Определяем динамический прогиб и напряжения

Пример 12.

Груз G = 1,2 кН падает с высоты h = 0,12 м в точку С двутав­ровой балки КD, опирающейся на упругое сооружение, состоящее из двух балок АК и DМ (рис. 1, а). Сечение балки КD - двутавр №18 ( м⁴ ; м³). Сечение балок АК и DМ - двутавр №30 ( м⁴; м³). Длина ба­лок l = 1,2 м. Модуль упругости кН/м².

Требу­ется:

Определить динамические напряжения в опасных сечениях ба­лок. Сравнить полученные напряжения с теми, которые появятся в балках, если балка КD будет опираться на абсолютно жесткое осно­вание.

Рис. 1

Решение.

Из уравнений равновесия балки и находим опорные реакции R_K , R_D :

кН;

кН.

Для проверки правильности найденных опорных реакций сос­тавляем уравнение равновесия : 0,8 + 0,4 - 1,2 = 0; 0=0.

Затем строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рассматриваемой балки КD и двух консольных балок АК и DМ (рис. 1, б, в, г, д, е).