Лекция 19. Изгиб и кручение тонкостенных стержней

Общие положения и основные особенности расчета

В настоящее время в машиностроении, авиации, строительстве, железнодорожном транспорте все больше используются конструк­ции, выполненные из тонкостенных и штампованных профилей или просто из тонколистовой стали. Эти конструкции обеспечива­ют высокую жесткость и прочность при сравнительно небольшом весе, поэтому их применение в технике является весьма экономич­ным. На железнодорожном транспорте это элементы тележек, сте­нок локомотивов, вагонов и многих других конструкций.

Специфика расчета этих конструкций на прочность породила особую расчетную схему - схему тонкостенного стержня.

Основным признаком тонкостенного стержня является харак­терное отношение его геометрических размеров. В поперечном се­чении одно из измерений (толщина) существенно меньше другого - срединной длины контура s. Последняя в свою очередь намного меньше, чем длина стержня l (рис.19.1).

Длина контура для тонкостенного стержня, представленного на рис.19.1:

.

Следовательно, характерные размеры тонкостенных стер­жней открытого профиля взаимосвязаны и меняются в преде­лах и .

Рис. 19.1

Основные положения теории тон­костенных стержней были даны С.П. Тимошенко. Полное и общее развитие эта теория получила в трудах В.З. Власова и потому обычно назы­вается теорией Власова.

Тонкостенный стержень, как рас­четная схема, сохраняет в себе основ­ные свойства обыкновенного стержня и формулы сопротивления материа­лов, связанные с растяжением (сжа­тием), изгибом и кручением бруса, остаются в основном справедливыми.

Вместе с тем, тонкостенный стержень в силу геометрических соотношений обнаруживает свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения. При некоторых видах загружения не соблюдается гипотеза плоских сечений, происходит так называе­мая депланация сечения за счет неравномерной деформации стерж­ня вдоль его оси. Иными словами, не соблюдается принцип Сен-Венана - глубина «проникновения» краевых особенностей вдоль оси существенно больше, чем в сплошном стержне.

Вообще говоря, сравнительная оценка нормальных и касатель­ных напряжений s и t в поперечных сечениях бруса при переходе от сплошного сечения к тонкостенному профилю существенно меняется, и этот вопрос требует особого изучения.

Рис. 19.2

При кручении тонкостенных стержней и вообще стержней с некруглым поперечным сплошным сечени­ем, поперечные сечения плоские до дефор­мации, искривляются по некоторой поверх­ности w(x, y, z) (рис.19.2), что называется депланацией сечения. По характеру фор­мирования депланаций сечения по длине стержня, следует различать два типа круче­ния стержней: свободное и стесненное.

Если депланация во всех поперечных сечениях одинакова по длине стержня или иначе w(x, y, z) = w(x, y), т.е. она является постоянной и не зависит от z, то такое кручение называется сво­бодным. При переменных депланациях по длине стержня, кручение называется стесненным.

При свободном кручении в поперечных сечениях стержня воз­никают только касательные напряжения, а при стесненном кру­чении, наряду с касательными возникают и нормальные напряже­ния. Эффект от неравномерной депланации сечения по его длине наиболее существенен для стержней открытого профиля.

Заметим, что порядок вычисления напряжений и перемещений в тонкостенном стержне закрытого профиля при свободном кручении принципи­ально ничем не отличается от метода расчета обычных стержней. Поэтому, здесь этому вопросу специальное внимание не уделяется.

Секториальная площадь

В дополнение к уже известным геометрическим характеристи­кам сечений (A - площадь поперечного сечения; S_x, S_v - статиче­ские моменты сечения; I_x, I_v, I_xy - осевые и центробежный момен­ты инерции) введем ряд новых. Эти характеристики свойственны только тонкостенным стержням и определяются на основе понятия секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис.19.3). Срединная линия - это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из заданного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрезка ds. Удвоенную площадь треугольника PAB обозначают через .

Очевидно, что

, (19.1)

где r - расстояние от полюса Р до каса­тельной к линии контура в точке А.

Интеграл

, (19.2)

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­чиваемую радиус-вектором РА при движении т. А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиус-век­тор вращается по часовой стрелке, приращение площади имеет знак плюс, против часовой стрелки - минус.

Рис. 19.3

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом конкретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

Рис. 19.4

В качестве примера по­строим эпюру секториальной площади для контура, приве­денного на рис.19.4, а. Выби­раем в качестве полюса точ­ку P, а за начало отсчета при­нимаем точку 0 (рис.19.4, а).

Рассмотрим участок 0-3. На этом участке . Век­тор r вращается по часовой стрелке, следовательно эпюра имеет знак плюс:

; ; .

На участке 3-4, , вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

; ; .

На участке 0-2, , вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

; ; .

На участке 2-1, , вектор r вращается по часовой стрелке, то есть приращение площади будет положительным:

; ; .

Эпюра секториальной площади приведена на рис.19.4, б.

Отметим, что при переносе полюса секториальная площадь ме­няется на величины, линейно зависящие от координат x и y, т.е.:

, (19.3)

где и - секториальная площадь относительно нового Р₀ и старого полюса Р', соответственно; x_c, y_c, x₀, y₀ - координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.

Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводят­ся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения:

, см⁴ .

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения:

и , см⁵ .

Секториальный момент инерции поперечного сечения:

, см⁶ .

Окончательные выражения секториальных характеристик, исхо­дя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по все­му контуру постоянна и равна d.

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба или кручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от дейст­вующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секториально линейные моменты, а также секториально статический момент бы­ли равны нулю, т.е.:

(19.4)

Выполнение условий первых двух условий из (19.4) зависит только от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из условий (19.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра , построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (15.4), носит название эпюры главной секториальной площади.

Положение центра изгиба и секториальные характеристики се­чения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра секториальной площади ¢ относительно полюса.

Далее определяются величины и относительно по­люса P и вычисляются координаты центра изгиба по формулам:

и . (19.5)

Определяется секториальная площадь относительно центра из­гиба по формуле (19.3) и вычисляется секториaльно стaтический мо­мент поперечного сечения по формуле:

,

как площадь эпюры , умноженную на .

Далее определяется постоянная D из третьего условия (19.4) по формуле:

(19.6)

и строится эпюра главной секториальной площади:

. (19.7)

Секториальные геометрические характеристики прокатных двутавров и швеллеров приведены в табл.19.1 и 19.2, значения моментов инерции при чистом кручении прокатных уголков приведены в табл.19.3 и 19.4., а формулы координат центра изгиба и секториальных моментов инерции некоторых металлических профилей – в табл.19.5.

Таблица 19.1

		Секториальные геометрические характеристики прокатных двутавров (ОСТ 10016-39)
Номер профиля	Секториальный момент инерции , см6		Секториальная площадь для крайней точки профиля , см2	Секториальный момент сопротивления , см4	Момент инерции при чистом кручении , см4	Изгибно-крутильная характеристика , см-1
10	644,3		15,25	42,26	2,873	0,04122
12	1353		20,10	67,33	4,243	0,03457
14	2560		25,54	100,23	5,911	0,02966
16	4879		32,25	151,30	8,406	0,02562
18	8219		38,90	211,28	11,37	0,02295
20а	13121		46,15	284,31	14,81	0,02074
20б	13857		47,05	284,50	17,85	0,02215
22а	22773		55,91	407,33	20,32	0,01844
22б	23930		56,90	420,55	24,08	0,01958
24а	33799		64,48	524,15	25,57	0,01698
24б	35426		65,57	540,25	30,12	0,01800
27а	52987		76,68	690,99	31,93	0,01515
27б	55414		77,92	711,21	37,60	0,01608
30а	76704		88,38	867,93	38,83	0,01389
30б	80114		89,75	892,60	45,78	0,01475
30с	83612		91,13	917,50	55,23	0,01587
33а	107160		100,69	1064,3	46,19	0,01281
33б	111780		102,21	1093,6	54,49	0,01363
33с	116520		103,73	1123,3	65,74	0,01466
36а	154820		115,19	1344,0	56,85	0,01183
36б	161210		116,85	1379,6	66,72	0,01256
36с	167760		118,51	1415,6	79,99	0,01348
40а	228900		134,13	1706,6	68,75	0,01070
40б	237950		136,00	1749,6	80,68	0,01137
40с	247210		137,85	1793,3	96,55	0,01220
45а	376630		159,75	2357,6	95,31	0,009819
45б	390770		161,96	2414,4	111,3	0,01041
45с	405220		163,96	2471,5	131,8	0,01113
50а	611990		187,10	3270,9	131,2	0,009038
50б	633900		189,44	3346,2	150,3	0,009504
50с	656270		191,79	3421,8	174,9	0,01007
55а	906350		216,79	4180,8	159,9	0,008198
55б	937220		219,36	4272,5	182,7	0,008617
55с	968720		221,94	4364,8	211,5	0,009119
60а	1349900		251,22	5373,4	195,5	0,007427
60б	1393200		254,04	5484,2	221,9	0,007790
60с	1437300		256,86	5595,7	255,3	0,008226

Примечание: При вычислении приняты =8∙10⁴ МПа, =2,1∙10⁵ МПа

Таблица 19.2

					Секториальные геометрические характеристики прокатных швеллеров (ОСТ 10016-39)
Номер профиля	Координаты центра изгиба , см	Секториальный момент инерции , см6	Секториальные площади		Секториальные моменты сопротивления		Момент инерции при чистом кручении , см4	Изгибно-крутильная характеристика , см-1
			, см2	, см2	, см4	, см4
5	1,08	24,91	2,70	4,26	9,22	5,85	1,350	0,14370
6,5	1,15	64,88	3,86	6,36	16,80	10,21	1,497	0,09375
8	1,22	141,8	5,15	8,75	27,57	16,20	1,940	0,07219
10	1,34	254,8	7,19	12,71	49,35	27,92	2,727	0,05411
12	1,48	768,3	9,54	17,31	80,51	44,39	3,634	0,04245
14а	1,58	1512	12,03	22,63	125,74	66,85	4,815	0,03483
14б	1,39	1711	11,46	23,85	149,32	71,75	6,248	0,03730
16а	1,68	2760	14,74	28,63	187,23	96,40	6,306	0,02950
16б	1,48	3099	14,03	30,09	220,87	103,00	8,227	0,03180
18а	1,83	4745	17,68	35,32	268,41	134,34	8,128	0,02555
18б	1,57	5292	16,83	37.02	314,50	142,95	10,50	0,02749
20а	1,94	7698	21,27	42,46	361,95	181,28	9,84	0,02207
20б	1,73	8560	20,24	44,45	422,87	192,57	12,50	0,02359
22а	2,07	11593	24,84	49,60	466,69	233,73	11,66	0,01958
22б	1,86	12863	23,63	51,88	544,42	247,95	14,60	0,02079
24а	2,10	15326	27,48	55,21	557,74	277,59	13,21	0,01812
24б	1,88	17007	26,10	57,75	651,56	394,50	16,47	0,01921
24с	1,67	18640	24,91	60,09	748,35	310,21	21,31	0,02087
27а	2,14	24337	31,85	66,46	764,11	366,19	16,25	0,01505
27б	1,91	26883	30,23	69,39	889,34	387,42	20,34	0,01698
27с	1,70	29355	28,82	72,10	1018,6	407,14	26,34	0,01848
30а	2,26	36645	37,21	76,54	984,87	478,78	20,39	0,01456
30б	2,03	40436	35,23	79,98	1147,8	505,61	25,01	0,01535
30с	1,80	44104	33,59	83,06	1313,0	530,97	31,75	0,01656
33а	2,25	53630	41,39	88,54	1271,7	594,43	24,29	0,01326
33б	2,02	57844	39,27	92,27	1473,2	626,93	29,92	0,01404
33с	1,80	62890	37,44	95,69	1679,8	657,23	38,04	0,01518
36а	2,47	92,189	49,50	104,55	1862,2	881,77	38,91	0,01268
36б	2,24	100430	47,30	108,51	2123,4	925,54	46,56	0,01329
36с	2,02	108420	45,36	112,18	2390,2	966,48	57,18	0,01417
40а	2,43	148100	55,78	121,67	2655,1	1217,2	59,74	0,01240
40б	2,21	160100	53,51	125,86	2991,7	1272,1	70,78	0,01298
40с	2,00	171870	51,51	129,80	3336,4	1324,0	85,72	0,01378

Примечание: При вычислении приняты =8∙10⁴ МПа, =2,1∙10⁵ МПа

Таблица 19.3

	Значения моментов инерции при чистом кручении прокатных равнобоких уголков (ОСТ 10014-39)
Размеры, мм		, см4	Размеры, мм		, см4
b	d		b	d
20	3	0,03330	100	8	3,277
	4	0,07680		10	6,333
25	3	0,04230		12	10,83
	4	0,09813		14	17,01
30	4	0,1195		16	25,12
	5	0,2292	120	10	7,667
35	4	0,1408		12	13,13
	5	0,2708		14	20,67
40	4	0,1621		16	30,58
	5	0,3125		18	43,16
	6	0,6328	130	10	8,333
45	4	0,1835		12	14,28
	5	0,3542		14	22,49
	6	0,6048		16	33,31
50	5	0,3958	150	12	16,59
	6	0,6768		14	26,15
60	5	0,4792		16	38,78
	6	0,8208		18	54,82
	8	1,911		20	74,67
65	6	0,8928	180	14	31,64
	8	2,082		16	46,97
	10	4,000		18	66,48
75	6	1,037	200	16	52,43
	8	2,423		18	74,26
	10	4,667		20	101,3
	12	7,949		24	173,2
80	6	1,109		30	333,0
	8	2,594	220	16	57,89
	10	5,000		20	112,0
90	8	2,935		24	191,7
	10	5,667		28	301,5
	12	9,667	230	24	200,9
	14	15,18

Таблица 19.4

		Значения моментов инерции при чистом кручении прокатных неравнобоких уголков (ОСТ 10014-39)
Размеры, мм			, см4	Размеры, мм			, см4
B	b	d		B	b	d
30	20	3	0,04230	100	75	12	9,389
		4	0,09813	120	80	8	3,277
35	20	4	0,1088			10	6,333
		5	0,2080			12	10,83
45	30	4	0,1515	130	90	8	3,618
		6	0,4968			10	7,000
60	40	5	0,3958			12	11,98
		6	0,6768			14	18,84
		8	1,570	150	100	10	8,000
75	50	5	0,5000			12	13,71
		6	0,8568			14	21,58
		8	1,997			16	31,95
		10	3,833	180	120	12	16,59
80	55	6	0,9288			14	26,15
		8	2,167			16	38,78
		10	4,167	200	120	12	17,74
90	60	6	1,037			14	27,98
		8	2,423			16	41,51
		10	4,667	200	150	12	19,47
100	75	8	2,850			16	45,60
		10	5,500			18	64,54
						20	88,00

Таблица 19.5. Формулы для вычисления координат центра изгиба и секториальных

моментов инерции некоторых металлических профилей

Сечение	Координата центра изгиба	Секториальный момент инерции
	Центр изгиба находится в пересечении осей профиля	0

Примечания: - центр изгиба профиля; , , - центры изгиба отдельных элементов профиля; 1, 2, 3 – номера элементов, составляющих профиль; , - осевые моменты инерции всего сечения относительно указанных на чертеже осей; , , , , , - осевые моменты инерции отдельных элементов профиля относительно указанных на чертеже осей: первый индекс – номер элемента, второй – ось; , , - секториальные моменты инерции отдельных элементов относительно собственных центров изгиба.